Вокруг квадратного трёхчлена

Темы занятий
1. Исследование корней квадратного трёхчлена.
2. Связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Теорема Виета.
3. Расположение нулей квадратичной функции на числовой прямой.
4.Формулы Виета для уравнений 3 и 4 степеней.

5. Уравнения, приводимые к квадратным.
6. Практикум по решению биквадратных уравнений.
7. Практикум по решению возвратных уравнений 4 степени.
8. Контрольная работа.

Исследование
корней
квадратного
уравнения
Занятие № 1

Посредством уравнений, теорем
Он уйму всяких разрешил проблем:
И засуху предсказывал и ливни.
Поистине его признанья дивны.
Д. Чосер.

Дискриминант квадратного трёхчлена- величина, определяющая характер его корней
Как вы думаете, количество корней квадратного уравнения определяется:
Одним коэффициентом
Двумя коэффициентами
Тремя коэффициентами
Выражением, составленным из коэффициентов

Какие гипотезы о числе корней вы можете выдвинуть?
D>0, два корня
D=0, один корень
D<0, нет корней

Дискриминант-
по латыни «различающий»
Попробуйте установить аналогию между понятиями «светофор» и «дискриминант».
D=в2-4ас
Верно ли, что если в квадратном уравнении коэффициенты а и с имеют противоположные знаки, то уравнение обязательно имеет 2 корня?

Чем различаются уравнения?
2х2-5х+6=0 и 2х2+5х+6=0
2х2-5х-3=0 и 2х2+5х-3=0
2х2-4х+2=0 и 2х2+4х+2=0
Решите эти уравнения
Корней нет корней нет
-0,5 и 3 -3 и 0,5
1 -1

Изменятся ли корни уравнения
2х2+5х+7=0, если у него изменить знак:
Одного коэффициента
Двух коэффициентов
Трёх коэффициентов?

Задача
Садовый участок расположен около реки и имеет форму прямоугольника со сторонами 23м и 11м. Какова площадь участка и каков его периметр?
Проверь ответ.
253м2 и 68м

Связь между
корнями и
коэффициентами
квадратного
уравнения.
Теорема Виета
Занятие № 2

Информация о корнях квадратного уравнения скрыта в его коэффициентах
Как ещё связаны между собой корни и коэффициенты?

Решите уравнения
Х2-7х+6=0 Х2+8х+6=0
Х2-8х+6=0 Х2+7х+6=0
Сравните коэффициенты этих уравнений, затем корни.
Какую связь вы подметили?
Запишите алгебраически

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену уравнения.
Теорема Виета

Франсуа Виет

Франсуа Виет (1540-1603) — французский математик. Разработал почти всю элементарную алгебру. Известны «формулы Виета», дающие зависимость между корнями и коэффициентами алгебраического уравнения (Виета теорема — установленная Ф. Виетом теорема: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а произведение — свободному члену).
Виет ввел буквенные обозначения для коэффициентов в уравнениях.
Франсуа Виет — замечательный французский математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель буквенного исчисления.
Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т. е. ввести понятие математической формулы. Этим он внес решающий вклад в создание буквенной алгебры, чем завершил развитие математики эпохи Возрождения и подготовил почву для появления результатов Пьера Ферма, Рене Декарта, Исаака Ньютона.

Теорема Виета
* * *
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни — и дробь уж готова:
В числителе с, в знаменателе а,
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта, что за беда —
В числителе Ь, в знаменателе а.

Известно, что сумма двух чисел равна 15, а их произведение равно 11. Составьте квадратное уравнение, корнями которого были бы эти числа.
Проверьте: х2-15х+11=0
Задача

Задача
Площадь прямоугольника равна 253м2, а его полупериметр равен 34м. Найдите стороны этого прямоугольника.
Решение:
Хм и (34-х)м стороны прямоугольника
Составляем уравнение: х(34-х)=253
34х-х2=253
D=144, х=11 и х=23
Ответ: 11м и 23м

Решите самостоятельно
Какие целые корни может иметь приведённое квадратное уравнение, у которого:
а) свободный член равен -76
б) второй коэффициент равен 15?
Ответ: 4 и -19; 4*(-19)=-76, -19+4=-15

1) x2 + 6x + 5 = 0 7) x2 – 4x – 5 = 0
2) x2 – 9x + 8 = 0 8) x2 + 2x – 8 = 0
3) x2 + x – 12 = 0 9) x2 – 8x + 12 = 0
4) x2 + 8x + 15 = 0 10) x2 – 14x – 15 = 0
5) x2 – x – 30 = 0 11) x2 + 11x + 30 = 0
6) x2 – 6x – 55 = 0 12) x2 + 16x + 55 = 0
Найдите целые корни квадратных уравнений

-5; -1 5; -1
8; 1 4; -2
-4; 3 6; 2
-3; -5 15; -1
-5; 6 -5; -6
11; -5 -11;-5
Проверь