Вписанные и описанные окружности

Около окружности, радиус которой равен √8 , описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
√8
АВ = 2√8 = а
Т.к. R = a /√2
1 способ
2 способ
R = AC/2 , АС можно найти из АСВ
по теореме Пифагора, зная стороны
квадрата
4
Решение:
№ 27944

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного
треугольника ABC, если стороны квадратных клеток равны 1.
Т.к. центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее длина равна 5, то R = 2,5
2 , 5
Решение:
№ 27946

Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат ABCD, считая стороны квадратных клеток равными √2 .
Решение:
r = ОМ , т.к. ОМ перпендикуляр
к CD
О
М
К
Из ОМК найдем гипотенузу
ОМ по теореме Пифагора
ОМ = 2 = r
2
№ 27948

Найдите радиус окружности, описанной около правильного треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.
К
Треугольник АВС равнобедренный.
ВК – медиана и высота.
Т.к. О- центр окружности является точкой пересечения медиан, то
R = 2
2
Решение:
№ 27950

Найдите радиус r окружности, вписанной в четырехугольник ABCD. В ответе укажите r√10.
АВ найдем из треугольника АВК
по т. Пифагора.
АВ = √10
r = 0,5 √10
К
5
Решение:
№ 27952

В четырехугольник ABCD вписана окружность, АВ=10 , CD=16 . Найдите
периметр четырехугольника.
Решение:
В любом описанном четырехугольнике
суммы противоположных сторон равны.
AB+CD= 26
P = 26*2 = 52
5 2
№ 27939

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника.
№ 27943
Решение:
M
N
O
K
Т.к. OК и ON –радиусы, проведенные в точку касания,
то ˂MNO = ˂OKM = 90°,
значит треугольники MNO и MKO
равны по катету и гипотенузе,
MK=MN, так же KP = PS, значит
MP = MN+PS .
Аналогично для треугольников
с периметрами 10 и 8.
Т.о. периметр данного
треугольника равен сумме
исходных периметров, т .е. 24
P
R
S
2 4

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.
К
Решение:
СК – медиана, биссектриса, высота
треугольника.
Из АСК по т.Пифагора найдем высоту СК.
СК = 4 ,
S = ½*AB*CK = 12,
P = 16,
r = 2S:P = 24:16 = 1,5
№ 27934
1 , 5
S = Pr:2

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.
Решение:
В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
DC+AB = 8
Таким образом MN = 4
M
N
Пусть MN – средняя линия трапеции,
МN = ½(DC+AB)
АD+CB = 8
4
№ 27936

Периметр правильного шестиугольника равен 72. Найдите диаметр описанной окружности.
Решение:
P = 72 , значит a = 12 , т.к. R = a = 12
D = 2R = 24
2 4
№ 27929

Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность,
и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны,
равен 54° . Найдите n.
№ 27930
54
Решение:
А
В
С
˂ А = 180° - 54°*2 = 72°
АВ = АС = R
ABC равнобедренный
n = 360° : 72° = 5
5

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный
треугольник, равен 2. Найдите гипотенузу c этого треугольника.
В ответе укажите .
К
Решение:
№ 27931
СК – медиана биссектриса, высота равнобедренного треугольника АВС.
ОК = ОР = ОМ = r = 2
О
М
Р
АС – касательная, СК - секущая
СР² = СН*СК , т.к. СН = СК-4, то
2² = (СК-4)*СК,
СК = 2(1+√2)
Н
Т.к. треугольник АКС равнобедренный
(˂КАС = ˂АСК=45°), то КС = АК
АВ = 2АК = 4 (1+√2)
4

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22,
средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.
№ 27924
Решение:
Т.к. , то DC+AB = 10
AD + CB = P – 10 = 12
Т.к. в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180° , то
ABCD – равнобедренная трапеция.
AD = 6
6

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему
основанию, угол при основании равен 60° , большее основание равно 12.
Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.
60°
12
M
N
№ 27925
Решение:
˂BCN= 30°
Обозначив СВ = х и, учитывая
свойство катета, лежащего напротив
угла 30°, составим и решим
уравнение:
х+0,5х+0.5х = 12,
х = 6.
О
Т.к. OM = OD = OC = OB =6.
R = 6
6

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58° .
Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
№ 27927
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°, значит углы 82° и 58° соседние (А и В).
˂В= 58° , значит ˂D=180°-58°=122°
Решение:
1 2 2
82°
58°

Углы A ,B и C четырехугольника ABCD относятся как 1:2:3. Найдите угол D ,
если около данного четырехугольника можно описать окружность.
Ответ дайте в градусах.
№ 27928
Решение:
A
B
C
D
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°, значит ˂А + ˂С = 180°, таким образом
˂А =180° : (1+3) = 45°
˂В = 2*45° = 90°
˂D = 90°
9 0

Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности.
Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне.
Ответ дайте в градусах.
№ 27919
Решение:
D
По условию задачи треугольник АВD
равносторонний,
Т.к ˂ADB – центральный, а
˂АСВ – вписанный, но опирающийся
на ту же дугу , то его величина
составляет 30°
3 0
˂ADB = 60°

Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен150° .
Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
№ 27921
Решение:
О
˂ACB – вписанный, значит дуга на которую он
опирается равна 300°
Величина дуги АСВ, а значит и
центрального ˂АОВ = 60° , а т.к.
АО = ОВ = R, то треугольник АОВ
равносторонний,
R = 1`
1

Сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной
около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
№ 27922
Решение:
O
Т.к. АО = ОВ = АВ , то треугольник АОВ
равносторонний, значит ˂ АОВ = 60°
Величина дуги АСВ равна 60° ,
величина оставшейся дуги
360° - 60° =300°,
Вписанный ˂С равен половине дуги,
на которую он опирается,
т.е. ˂С =150°
1 5 0

Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся
(в последовательном порядке) как 1:2:3 . Найдите большую сторону
этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 32.
Решение:
№ 27942
В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, значит AD+CB = DC+AB,т.е.
х+3х = 32-4х х = 4 DC = 32- AB-AD-BC = 32-4-8-12 = 8
8