Введение в математический анализ и дифференциальное исчисление

1. Основные теоремы дифференциального исчисления
Теорема Ферма: Если дифференцируемая на промежутке Х функция y=f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке х0 этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f′(x0)=0.
Геометрический смысл теоремы Ферма очевиден: в точке наибольшего и наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка Х, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.
Теорема Ролля: Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:
непрерывна на отрезке [a, b];
дифференцируема на интервале (a, b);
на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f(a)=f(b).
тогда внутри отрезка существует, по крайней мере одна такая точка ζ∈(a, b), в которой производная функции равна нулю: f′(ξ)=0.

Геометрический смысл теоремы Ролля: найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс; в этой точке производная и будет равна нулю (на рис. таких точек две - ξ1, ξ2).
Теорема Лагранжа: Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:
непрерывна на отрезке [a ,b];
дифференцируема на интервале (a, b).
Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка ζ∈(a, b), в которой производная функции равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке, т.е.
Формула может быть также переписана в виде
.

2. Правило Лопиталя
Правило Лопиталя: предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения из производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле. То есть, если имеется неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то
Пример. Найти предел
Решение. Имеем неопределенность вида
Применим правило Лопиталя:
Здесь для вычисления производной от функции хх мы использовали формулу производной степенно-показательной функции y=f(x)ϕ(x).

3. Возрастание и убывание функций
Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если для любых х1, х2∈Х, х2>х1 верно неравенство f(x2)>f(x1) (f(x2)>f(x1)).
Теорема (достаточное условие возрастания функции): если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке.
Теорема (достаточное условии убывания функции): если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка Х, то она убывает на этом промежутке.
Необходимое условие монотонности: если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке Х, то можно лишь утверждать, что производная неотрицательна (неположительна) на этом промежутке: f′(x)≥0 (f′(x)≤0), т.е. в отдельных точках производная монотонной функции может равняться нулю.

4. Экстремум функции
Рассмотрим график некоторой функции f(x). На этом графике мы имеем последовательное чередование промежутков возрастания и убывания функции. Точки кривой, которые отделяют промежутки возрастания от промежутков убывания, называются вершинами кривой.
Точка х0 называется точкой максимума функции f(x), если значение f(x) в этой точке больше всех ее значений в ближайших точках, т.е. выполняется неравенство f(x0+Δx)
Точка х1 называется точкой минимума функции f(x), если значение f(x) в этой точке меньше всех ее значений в ближайших точках, т.е. выполняется неравенство f(x1+Δx)>f(x1), для всяких Δx как положительных, так и отрицательных, достаточно малых по абсолютному значению.

Значения функции в точках х0 и х1 называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимумы и минимумы функции объединяются общим понятием экстремума функции. Точки М0, М1, М2, М3 – экстремумы функции f(x).
Поэтому необходимое условие экстремума:
Для того чтобы функция y=f(x) имела экстремум в точке х0, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю f′(x0)=0 или не существовала.
Точка х∈Х, в которой выполнено необходимое условие экстремума: производная равна нулю называется стационарной, не существует - критической. При этом критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума.
Достаточное условие экстремума.
Теорема 1: если при переходе через точку х0 производная дифференцируемой функции y=f(x) меняет свой знак с плюса на минус, то точка х0 есть точка максимума функции y=f(x), а если с минуса на плюс, то точка минимума.

Теорема 2: если первая производная f′(x) дважды дифференцируемой функции f(x) равна нулю в некоторой точке х0, а вторая производная в этой точке f′′(x0) положительна, то точка х0 есть точка минимума функции; если f′′(x0) отрицательна, то х0 – точка максимума.
Схема исследования функции y=f(x) на экстремум:
Найти производную y′=f′(x).
Найти критические точки функции, в которых производная f′(x)=0 или не существует.
Найти вторую производную f′′(x) и определить ее знак в каждой критической точке. Либо: исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.
Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Пример. Найти экстремумы функции y=x3-3x2-4.
Решение. 1. Находим первую производную y′=3x2-6x=3x(x-2).
2. Находим критические точки из условия y′=3x(x-2)=0: х1=0, х2=2.
3. Находим y′′=6x-6. Значения второй производной в критических точках: y′′(х=0)=-6<0, y′′(х=2)=6>0. Следовательно, в точке х=0 локальный максимум, а в точке х=2 – минимум.
4. Находим ymax(0)=-4, ymin(2)=-8.

Пример. Капитал в 1 млн. руб. может быть размещен в банке по 50% годовых или инвестирован в производство, причем эффективность вложения ожидается в размере 100%, а издержки задаются квадратичной зависимостью. Прибыль облагается налогом в р%. При каких значениях р вложение в производство является более эффективным, нежели чистое размещение капитала в банке?
Решение. Пусть х (млн. руб.) инвестируется в производство, а 1-х – размещается под проценты. Тогда капитал, размещенный в банке, через год станет равным (1-х)(1+50/100)=1.5(1-х), а капитал, вложенный в производство: х(1+100/100)=2х. Издержки составят ах2, т.е. прибыль от вложения в производство С=2х-ах2. Налоги составят (2х-ах2)р/100, т.е. чистая прибыль окажется равной (1-р/100)(2х-ах2). Общая сумма через год составит
и требуется найти максимальное значение этой функции на отрезке [0, 1]. Имеем
, т.е. точка х0 – точка максимума.
Чтобы х0 принадлежала отрезку [0, 1], необходимо
выполнение условия
Таким образом, если p>25, то выгодно ничего не вкладывать в производство и разместить весь капитал в банк.
или р<25.

Точки экстремума во многом определяют структура графика функции. Определим теперь другие точки функции, которые также следует найти, чтобы качественно построить ее график.
Функция f(x) возрастает на всей числовой оси и не имеет экстремумов. Вместе с тем, в точках х1, х2, х3, х4 график как бы перегибается. Такие точки называют точками перегиба.
Функция y=f(x) называется выпуклой вверх (выпуклой вниз) на промежутке Х, если для любых двух значений х1, х2∈Х из этого промежутка выполняется неравенство
5. Выпуклость функции и точки перегиба
если функция выпукла вниз, то отрезок, соединяющий любые две точки графика, целиком лежит над графиком, если – выпукла вверх, то весь отрезок целиком лежит под графиком функции.

Достаточное условие выпуклости функции вниз (вверх) диктуется следующей теоремой:
Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка Х, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.
Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.
Из вышесказанного следует, что точки перегиба – это точки экстремума первой производной. Отсюда вытекает необходимое условие перегиба: вторая производная f′′(x) дважды дифференцируемой функции f(x) в точке перегиба х0 равна нулю: f′′(x)=0.
Достаточное условие перегиба: если вторая производная f′′(x) дважды дифференцируемой функции f(x) при переходе через некоторую точку х0 меняет свой знак, то х0 есть точка перегиба ее графика.

Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба:
Найти вторую производную функции f′′(x).
Найти точки, в которых вторая производная равна нулю f′′(x)=0 или не существует.
Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличия точек перегиба.
Найти значения функции в точках перегиба.

Пример. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции y=x(x-1)3.
Решение. 1. Найдем y′ =(x-1)2(4x-1), y′′ =2(x-1)(4x-1)+4(x-1)2=12(x-0.5)(x-1)
2. y′′ =12(x-0.5)(x-1)=0 в точках х1=0.5 и х2=1.
3. Для исследования знака второй производной на интервале (-∞, 0.5) выберем х=-1. y′′(-1)=36>0. Следовательно, на этом интервале функция выпукла вниз. Аналогично, функция на интервале (1, ∞) также выпукла вниз. На интервале (0.5, 1) y′′<0 и на нем функция выпукла вверх.
Поскольку y′′ при переходе через точку х=0.5 меняет знак с плюса на минус и, наоборот, в точке х=1 с минуса на плюс, то они и будут являться точками перегиба.
4. Значения функции в точках перегиба f(0.5)= -1/16, f(1)=0.
График функции приведен на рисунке.

6. Асимптоты графика функции
Асимптотой графика функции y=f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
Асимптоты могут быть вертикальными (х=а), горизонтальными (y=b, y=-b) и наклонными см. рисунок.
Теорема 1. Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при х→ х0-0 (слева) или при х→ х0-0 (справа) – равен бесконечности, т. е.
или
Тогда прямая х=х0 является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x).

Теорема 2. Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции
Тогда прямая y=b есть горизонтальная асимптота графика функции y=f(x).
Если конечен только один из пределов
то функция имеет лишь левостороннюю y=bл или правостороннюю y=bп горизонтальную асимптоту.
Теорема 3. Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших х и существуют конечные пределы
и
Тогда прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=f(x).
Наклонная асимптота, так же как и горизонтальная, может быть правосторонней или левосторонней.

Пример. Найти асимптоты графика дробно-линейной функции
Решение. Из области определения выпадает точка
. Найдем пределы функции f(x) при
и прямая
является вертикальной
асимптотой. Далее
Отсюда следует, что прямая
является горизонтальной асимптотой.
Так, например, асимптотами функции
являются прямые х=-1 и y=-2.

7. Общая схема исследования функций
При исследовании функций и построении их графиков рекомендуется использовать следующую схему:
Найти область определения функции и точки пересечения ее графика с осями координат.
Исследовать функцию на четность-нечетность.
Исследовать функцию на периодичность.
Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва и выяснить характер разрывов.
Найти асимптоты графика функции.
Исследовать функцию на экстремум, найти интервалы монотонности функции.
Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графика функции.
Построить график и найти область значений.

Пример. Исследовать функцию
Решение.
1. Область определения функции: х≠±1. Точки пересечения с осью Ох находим из условия y=0: x3+x2-3x+1=0. Делитель свободного члена равен 1. Следовательно, корень х1=1. Разделим наше уравнение на х-х1:
Таким образом, x3+x2-3x+1=(х-1)(х2+2х-1). Найдем корни уравнения второй степени х2+2х-1=0 и окончательно получим х1=1,
Точки пересечения с осью Оy найдем из условия х=0: y=-0.5.
Функция не является ни четной, ни нечетной, поскольку f(x)≠f(-x) и f(x)≠-f(-x).
Функция не является периодической.
Функция имеет разрыв в точках х≠±1. Исследуем характер разрыва точек. Возьмем х=-1

Точка х=-1 является точкой разрыва второго рода. Возьмем х=1
Точка х=1 – точка устранимого разрыва.
4. Найдем асимптоты. Поскольку предел функции при х→-1 равен бесконечности, то прямая х=-1 является вертикальной асимптотой графика. Найдем наклонные асимптоты.
где для вычисления предела мы разделили числитель и знаменатель на х3. И
Таким образом уравнение наклонной асимптоты y=kx+b=x+1.

5. Для нахождения экстремумов найдем первую производную функции:
Здесь опять использовано разложение многочлена х3+х2+х-3 путем его деления на х-1. Видим, что ни при каких х y′(x)≠0 и, следовательно, критических точек функция не имеет. При х=-1 y′(x) не существует.
Таким образом, вся область допустимых значений х разбивается на интервалы (-∞, -1), (-1, ∞). Исследуем знак производной в каждом из этих интервалов, выбирая соответствующее значение переменной х в результате чего заполним таблицу:

6. Найдем точки перегиба, участки выпуклости вверх и вниз. Для этого вычислим вторую производную
Ни при каких х y′′(x)≠0. Следовательно, вся область допустимых значений разобьется на интервалы (-∞, -1), (-1, ∞), где функция имеет выпуклости. Исследуем знак второй производной на этих интервалах, выбирая соответствующие значения х, и занесем результаты в таблицу:
Окончательно, нарисуем график этой функции.

Пример. Исследовать функцию
1. Функция определена при всех значениях х, для которых x2-1>0, т.е. на интервалах (-∞, -1) и (1, ∞). Точки пересечения с осью Ох находим из условия y=0: х≈1.25. С осью Оy функция не пересекается.
2. Функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Функция не является периодической.
4. На интервалах (-∞, -1) и (1, ∞) функция непрерывна.
5. Найдем асимптоты. Поскольку предел функции при х→±1 равен плюс-минус бесконечности, то прямые х=±1 являются вертикальными асимптотами графика. Найдем наклонные асимптоты.
следовательно, ни наклонных, ни горизонтальных асимптот нет.
6. Для нахождения экстремумов найдем первую производную функции:
Производная существует и конечна во всех точках области определения функции. Найдем критические точки из условия y′(x)=0. Решая квадратное уравнение х2+2х-1=0 получим

В точке
функция не определена. Следовательно, имеется только одна критическая точка
принадлежащая области определения функции. Вся область допустимых значений х разбивается на интервалы
Исследуем знак производной в каждом из этих интервалов, выбирая соответствующее значение переменной х. В интервале
производная положительна, а в интервале
- отрицательна, следовательно, точка
- точка максимума и значение функции в ней равно ≈0.84. В интервале
функция возрастает, а в интервале
- убывает. В интервале
производная больше нуля и функция возрастает.