Введение в общую алгебру

Ключевые вопросы лекции
Что такое множество и какие существуют операции над множествами? Какие бывают отношения и какими свойствами они обладают?
Что такое алгебраическая структура(АС) с одной или с двумя операциями?
Чем различаются группоид, моноид, группа, кольцо и поле?
Как определить тип АС по описанию?

План уроков темы
Описание множеств. Операции над множествами.
Отношения. Свойства отношений.
Функция. Отображение. Операции.
Алгебраические системы и их изоморфизм.
Группы, кольца, поля. Примеры

Множества
Множество – совокупность любых объектов, называемых элементами множества.
Примеры множеств: множество жителей данного города, множество целых чисел, множество студентов данной группы и т. д.
Важные обозначения:
- x принадлежит А
- x не принадлежит A
Ø – пустое множество

Способы задания множеств
1) Перечислением всех элементов
A = {Петр, Сергей, Юлия, Ольга}
B={1,3,5,7,9}

Способы задания множеств

Способы задания множеств

Сравнение множеств
Множество А называется подмножеством множества В, если все элементы А содержатся в В.
Два множества называются равными, если они содержат одинаковые наборы элементов.
.

Сравнение множеств

Алгебра множеств

Операции над множествами
Основные операции, определяемые над множествами:
Пересечение : A ∩ B := { x : x ∈ A и x ∈ B }
Объединение: A ∪ B := { x : x ∈ A или x ∈ B } .
Если множества A и B не пересекаются, то A ∩ B = ∅ .
Разность: A ∖ B := { x : x ∈ A и x ∉ B }.
Симметрическая разность:
A △ B := { x : ( x ∈ A и x ∉ B ) или ( x ∉ A и x ∈ B ) }.
Дополнение:
.

Операции над множествами. Примеры
Пусть А={К, А, Т, Я}, В={Н, И, К, О, Л, А, Й}
Пересечение :
A ∩ B := { А, К}
Объединение:
A ∪ B := {А, И, Й, К, Л, Н, О, Т, Я} .
Разность:
A ∖ B := {Т, Я } ;
Симметрическая разность:
A △ B := { И, Й, Л, Н, О, Т, Я }.

Свойства операций над множествами
1) Коммутативность. 5) Свойство единицы
2) Ассоциативность. 6) Закон поглощения
3) Дистрибутивность. + Идемпотентность,
инволютивность,
закон де Моргана
4) Свойство нуля.

Декартово произведение
Декартово или прямое произведение:
A × B = { ( a , b ) : a ∈ A , b ∈ B }.
ПРИМЕР : A = { 6, 5, 7 } ; B = {11, 14, 12}
A × B = { ( 6 ,11 ),(6,14),(6,12), ( 5 ,11 ),(5,14),(5,12), ( 7,11 ),(7,14),(7,12), }.
Прямое произведение множеств – операция многоместная
В результате получаются множества, состоящие из упорядоченной последовательности вида
.

Декартово произведение
Декартово или прямое произведение:
A × B = { ( a , b ) : a ∈ A , b ∈ B }.
ПРИМЕР : A = { 6, 5, 7 } ; B = {11, 14, 12}
A × B = { ( 6 ,11 ),(6,14),(6,12), ( 5 ,11 ),(5,14),(5,12), ( 7,11 ),(7,14),(7,12), }.
Прямое произведение множеств – операция многоместная
В результате получаются множества, состоящие из упорядоченной последовательности вида
Такие последовательности называются кортежами или векторами. Сами элементы при этом называются компонентами (координатами) кортежа.
Степенью множества называется декартовое произведение множества A само на себя n раз:
An =A × A ×A… ×A – n раз
ПРИМЕР: А={2,7}
A2 =A × A= = { ( 2 ,2 ),(2,7),(7,2), ( 7 ,7 )}.

План уроков темы
Описание множеств. Операции над множествами.
Отношения. Свойства отношений.
Функция. Отображение. Операции.
Алгебраические системы и их изоморфизм.
Группы, кольца, поля. Примеры

Отношения

Отношения

Способы задания отношения

Способы задания отношения

Способы задания отношения

Способы задания отношения
Графический способ задания отношений
M = {Петр, Сергей, Мирон, Юлия, Ольга}
R = {(Петр, Юлия), (Юлия, Петр), (Мирон, Ольга), (Ольга, Мирон), (Сергей, Юлия), (Юлия ,Сергей), (Ольга, Юлия), (Юлия ,Ольга)}

Матрица бинарного отношения
M = {Петр, Сергей, Мирон, Юлия, Ольга}
R = {(Петр, Юлия), (Юлия, Петр), (Мирон, Ольга), (Ольга, Мирон), (Сергей, Юлия), (Юлия ,Сергей), (Ольга, Юлия), (Юлия ,Ольга)}

Свойства бинарного отношения

Свойства бинарного отношения

Свойства бинарного отношения

Свойства бинарного отношения

Свойства бинарного отношения

Отношения эквивалентности

Отношения эквивалентности
Ключевое свойство отношения эквивалентности:
множество A разбивается на непересекающиеся классы эквивалентности, элементы внутри такого класса эквивалентны друг друга с точки зрения рассматриваемого отношения.
Примеры разбиения
Для R1 - отношение "оканчиваться на одну цифру“ множество M1 делится на 10 классов эквивалентности например K5={5,15,25,…,95}, K9={9, 19,29,…,99}.
Для R2 - отношение «имеет одинаковый остаток от деления на 3“ множество M2 делится на 3 класса K0={0,±3, ±6,…}, K1={…,-2,1,4, 7,…}, K2={…,-1,2,5,8…}.

Отношения порядка
Связное (полное) отношение – отношение R, в котором для любой пары a,b из условия a ≠ b следует aRb или bRa .
Примером связного (полного) отношения является отношение «быть выше по росту», заданное на множестве студентов некоторой группы.
.

Отношения порядка

Отношения порядка
Связное (полное) отношение – отношение R, в котором для любой пары a,b из условия a ≠ b следует aRb или bRa .
Отношение строгого порядка – отношение, которое антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.
Отношение строгого линейного порядка – связное отношение строгого порядка.

Применение отношений
Описание смысла подмножеств
R = {(Петр, Юлия), (Юлия, Петр), (Мирон, Ольга), (Ольга, Мирон), (Сергей, Юлия), (Юлия ,Сергей),(Ольга, Юлия),(Юлия ,Ольга)}, R = ?
.

Применение отношений

Применение отношений

План уроков темы
Описание множеств. Операции над множествами.
Отношения. Свойства отношений.
Функция. Отображение. Операции.
Алгебраические системы и их изоморфизм.
Группы, кольца, поля. Примеры

Соответствие

Соответствие
Область определения соответствия Р (обозначается D(P)) – множество таких a, для которых существует образ.
Область значений соответствия Р (обозначается E(P) ) – множество таких b, для которых существует прообраз.

Виды соответствий
Всюду определенное соответствие : D(P) = A. В противном случае соответствие называется частичным.
Сюръективное соответствие (сюръекция): E(P) = B.

Виды соответствий
Инъективное соответствие (инъекция) – соответствие, при котором прообразом любого элемента из множества E(P) является единственный элемент из множества D(P).
Функциональное соответствие (функция) – соответствие , при котором образом любого элемента из множества D(P) является единственный элемент из множества E(P).

Виды соответствий
Взаимнооднозначное соответствие – соответствие, которое функционально и инъективно.
Биекция (1-1 соответствие) – соответствие, которое всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.
Отображение A в B – соответствие, которое всюду определено и функционально.
Отображение A на B – соответствие, которое всюду определено, функционально и сюръективно.

Алгебраические операции

Бинарная операция

Свойства (типы) бинарных операций

Нулевой элемент
Элемент 0 множества A называют левым (правым) нулем относительно данной операции ∗ , если 0∗a=0 (a∗0=0) для любого a∈A.
Если 0′ — левый нуль и 0′′ — правый нуль существуют, то они совпадают, так как 0′=0′∗0′′=0′′ . В этом случае говорят просто о нуле относительно операции, при этом он единственен и для него одновременно выполнены оба равенства 0∗x=0 и x∗0=0.

Нейтральный элемент
Элемент e множества A называют левым (правым) нейтральным элементом относительно операции (∗), если e∗a=a (a∗e=a) для любого элемента a∈A .
Для левого e′ и правого e′′ нейтральных элементов, если они оба существуют, выполнены равенства e′=e′∗e′′=e′′, следовательно, они совпадают. В этом случае элемент e называют нейтральным элементом.
Нейтральным элементом относительно операции умножения на множестве натуральных чисел является число 1. На множестве целых чисел нейтральным элементом относительно операции сложения будет число 0.

Алгебраические операции
Пусть ∗ - бинарная операция на множестве A, обладающая нейтральным элементом e . Элемент a′ называется симметричным к элементу a∈A относительно операции ∗ , если a′∗a = e = a∗a′ .
Аддитивные операции. Если операция на множестве коммутативна и ассоциативна, то ее часто обозначают знаком + и называют сложением.
При этом нейтральный элемент, если он существует, обозначается 0 и называется нулем , а (единственный) симметричный элемент к элементу a обозначается через −a и называется противоположным к a элементом.
Мультипликативные операции. Если операция на множестве ассоциативна, то ее часто обозначают знаком · и называют умножением.
При этом нейтральный элемент, если он существует, обозначается 1 и называется единицей , а (единственный) симметричный элемент к элементу a обозначается через a−1 и называется обратным к a элементом.

План уроков темы
Описание множеств. Операции над множествами.
Отношения. Свойства отношений.
Функция. Отображение. Операции.
Алгебраические системы и их изоморфизм.
Группы, кольца, поля. Примеры

Алгебраические структуры
Опр. Непустое множество А, вместе с одной или несколькими алгебраическими операциями, определенными на этом множестве называют алгебраической структурой (системой).
Обозначения:
(А, *) – пример обозначения алгебраической структуры с одной алгебраической операцией;
(А, *, ◦ ) – алгебраическая структура с двумя операциями
и т.п. .

Алгебраические структуры (АС)
Опр. Непустое множество А, вместе с одной или несколькими алгебраическими операциями, определенными на этом множестве называют алгебраической структурой (системой).
Примеры:
(R, +) – множество вещественных чисел с операцией +;
(R,+,*) – множество вещественных чисел с операциями + и *;
(Mn(R), +), (Mn(R) , +, × ) - множество квадратных матриц n-го порядка, определенных на множестве действительных чисел с операциями матричного сложения (+) и умножения (×).

Группоид
Опр. Непустое множество А, в котором определена только одна бинарная операция, называется группоидом.
В группоиде на бинарную операцию нет никаких ограничений.
.

Полугруппа
Опр. Непустое множество А, в котором определена только одна бинарная операция, называется группоидом.
В группоиде на бинарную операцию нет никаких ограничений.
Опр. Алгебраическая структура (А, ∗) называется полугруппой, если операция ∗ является ассоциативной.
Если операция ∗ является коммутативной, то полугруппа (А, ∗ ) называется коммутативной полугруппой.
Примеры: (( N, +), (N,· ) ).

Моноид
Опр. Полугруппа А, в которой существует единичный элемент, называется полугруппой с единицей, или моноидом.
Примеры:
Аддитивная полугруппа (Mn(R), +) - это коммутативный моноид (единичный элемент - нулевая матрица).
Мультипликативная полугруппа (Mn(R) , × ) - это некоммутативный моноид (единичный элемент - единичная матрица E ).

Группа
Опр. Моноид G, в котором для любого элемента существует симметричный или противоположный элемент, называется группой.
Т.о., для операции группы выполняются следующие свойства:
А1. Операция ∗ ассоциативна:
∀x, y, z ∈ G x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z;
А2. операция ∗ обладает нейтральным элементом e:
∃e ∈ G : ∀x ∈ G x ∗ e = e ∗ x = x;
А3. все элементы множества G обратимы относительно операции ∗:
∀x ∈ G ∃ x′ ∈ G x ∗ x′ = x′ ∗ x = e.

Абелева группа
Опр. Группа ( G , ∗ ) называется абелевой, если операция ∗ в ней коммутативна.
Примеры:
(V, +), V - множество n-к чисел:
(Z, +). Z - множество целых чисел относительно операции +
.

Абелева группа
Опр. Группа ( G , ∗ ) называется абелевой, если операция ∗ в ней коммутативна.
Примеры:
(V, +), V - множество n-к чисел:
(Z, +). Z - множество целых чисел относительно операции +
Группа G, содержащая конечное число элементов, называется конечной, а число её элементов называется порядком и обозначается | G |. В противном случае группа называется бесконечной.
Группу относительно сложения называют аддитивной группой. Группу относительно умножения называют мультипликативной группой.

Свойства групп
Утверждение 1. Нейтральный элемент единственен:
Если e1 , e2 — нейтральные, то e1* e2 = e1 , e2 * e1 = e2 ⇒ e2 = e1.
Утверждение 2. Для каждого элемента a обратный элемент a' единственен.
Пусть для элемента a существуют два обратных элемента a1' и a 2’. Тогда …
.

Свойства групп
Утверждение 3. Верны законы сокращения:
c * a = c * b ⇔ a = b, a * c = b * c ⇔ a = b.
Действительно, пусть c * a = c * b, е – единичный элемент группы и c' – обратный к c элемент. Тогда …
Утверждение 4. Группа содержит единственное решение x любого уравнения x * c = b или c * x = b.
Доказательство. Решением уравнения a * x = b в группе A называется такой элемент c ∈ A, что a * c = b. Возьмем c = a' * b, где a' – обратный к а элемент.
Тогда …
.

Свойства групп
Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент: e − 1 = e.
( a b ) − 1 = b − 1 a − 1.
( a − 1 ) − 1 = a.
e n = e, для любого n ∈ Z.

АС с двумя операциями: кольцо

Кольцо многочленов
Тема: Введение в общую алгебру
---------------------------------------
Кольцо многочленов — кольцо, образованное многочленами от одной или нескольких переменных с коэффициентами из другого кольца.
Многочленом от одной переменной над кольцом K называется выражение
где x – некоторая переменная из кольца K.
Если a n ≠ 0 , то a n называется старшим коэффициентом многочлена f , а n – степенью многочлена f (обозначение: n = deg f ) Нулевому многочлену 0 степень не приписывается. Два многочлена равны , если равны коэффициенты при одинаковых степенях x . Множество всех многочленов от x над кольцом K будем обозначать символом K [x] . На множестве K [x] определим операции сложения и умножения:
при определении операции сложения мы добавляем нулевые слагаемые с тем, чтобы получить записи с одинаковыми степенями x .

АС с двумя операциями: поле