Прямая Эйлера

ПРЯМАЯ ЭЙЛЕРА
Центроид треугольника (центр тяжести треугольника) — точка пересечения медиан в треугольнике
Ортоцентр треугольника — точка пересечения высот или их продолжений

ПРЯМАЯ ЭЙЛЕРА( ТЕОРЕМА )
В любом треугольнике центр описанной окружности, центроид и ортоцентр лежат на одной прямой, эту прямую называют прямая Эйлера.
р – прямая Эйлера

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О ПРЯМОЙ ЭЙЛЕРА. ШАГ 1
Рассмотрим треугольник АВС.
Проведем в нем высоты. Точку пересечения высот обозначим буквой Н.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О ПРЯМОЙ ЭЙЛЕРА. ШАГ 2
Опишем вокруг треугольника окружность с центром в точке О.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О ПРЯМОЙ ЭЙЛЕРА. ШАГ 3
Проведем медиану ВР.
Пусть отрезок ОН пересекает медиану ВР в точке М.
Рассмотрим треугольники РОМ и ВНМ.
OP⊥AC так как O— центр описанной окружности, который лежит на пересечении серединных перпендикуляров;
AP=PC по условию: значит OP – серединный перпендикуляр;
BH⊥AC -по условию. Из перпендикулярности двух прямых к одной прямой, следует: ОР||BH
Из параллельных прямых, следует, что их накрест лежащие углы равны: ∠О= ∠H
∠OMP= ∠BMH - как вертикальные
треугольник POM ~ треугольнику BHM по двум углам. Из подобия треугольника следует ВМ/МР =ВН/OP
По лемме о центре описанной окружности, ортоцентре и середине стороны треугольника:
BH=2*OP или ВН/ОР=2 отсюда ВМ/МР=2/1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О ПРЯМОЙ ЭЙЛЕРА. ШАГ 4
Таким образом получаем, что точка М, лежащая на медиане, делит ее в отношении 2:1, считая от вершины. Отсюда следует, что М – точка пересечения медиан.
Значит три точки О, М и Н лежат на одной прямой.
Теорема о прямой Эйлера доказана.

ЛЕММА ИЗ ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА
Если H-ортоцентр треугольника ABC, OM1 - перпендикуляр, опущенный из центра O описанной окружности на сторону BC, то AH = 2OM1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ ИЗ ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА
1) Через каждую высоту треугольника ABC проведем прямую, параллельную противолежащей стороне. Получим треугольник A 1B1C1
2) Так как два угла опираются на одну и ту же дугу, то ∠ B1HC1 = 2∠B1A1C1 . Углы BAC и B1A1C1 равны как противолежащие углы параллелограмма ABA1C, поэтому ∠ BOC = 2∠BAC=2∠B1A1C1 = ∠B1HC 1.
3) Так как B1C1 =2BC, то равнобедренные треугольники COB и B1HC1 подобны с коэффициентом подобия 2
4) Так как отрезок AH и OM1 - соответственны высотам подобных треугольников, то AH = 2OM 1 . Что и требовалось доказать: AH = 2OM 1
Доказательство леммы из теоремы Эйлера

ЗАДАЧА №1
Дано :треугольник ABC, точка M – центроид, O – центр вписанной окружности, H – ортоцентр
Доказать: в любом треугольнике точка H пересечения высот (ортоцентр), центр O описанной окружности и точка M пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка M расположена между точками O и H, и MH = 2MO.

ЗАДАЧА №2
остроугольном треугольнике ABC высоты пересекаются в точке H, а медианы — в точке O. Биссектриса угла A проходит через середину отрезка OH. Найдите площадь треугольника ABC, если BC = 2, а разность углов B и C равна 30o.