Явная разностная схема для полной системы уравнений Навье-Стокса

Группой учёных под руководством Баутина С.П. в ряде работ предлагается математическое описание восходяцих закрученных потоков, учитывающее максимально возможное количество влияющих факторов.
В [1]* полная система уравнений Навье-Стокса (ПСУНС) для вязкого теплопроводного газа представлена в цилиндрических координатах. В предложенном виде не представляется возможным рассчитать поведение газа при различных начальных и граничных условиях. Поведение воздушных масс согласно рассмотренной модели для конкретных случаев ведётся численными методами.
Численный метод расчёта
* - Разрушительные атмосферные вихри и вращение Земли вокруг своей оси: монография / С.П.Баутин, С.Л.Дерябин, И.Ю.Крутова, А.Г.Обухов. – Екатеринбург: УрГУПС, 2017. – 335с.

ПСУНС в цилиндрических координатах
уравнение неразрывности
окружная
скорость
радиальная
скорость
вертикальная
скорость
уравнение энергии

Регулярная сетка в цилиндрических координатах задаётся шагом по длине радиуса hr, высоте выбранного объёма hz и равными углами поворота плоскости α, проходящей через ось симметрии. Плотность размещения узлов сетки растёт в направлении оси симметрии.
Производится замена дифференциального уравнения на конечно-разностную аппроксимацию, позволяющую с заданной точностью находить значения параметров уравнения в узлах сетки на следующем временном слое в зависимости от предыдущего значения в исходном и соседних узлах.
Конечно-разностная схема

Конечно-разностная схема
Замена частных производных по координатам:

Уравнение неразрывности

Радиальная скорость

Окружная скорость

Вертикальная скорость

Уравнение энергии

Выводы
Решение полученной системы алгебраических уравнений описывает поведение воздушных масс в поле силы тяжести с учётом силы Кориолиса.
Получена явная схема вычислений. Она допускает распараллеливание вычислительных процессов

Список использованной литературы
Разрушительные атмосферные вихри и вращение Земли вокруг своей оси: монография / С.П.Баутин, С.Л.Дерябин, И.Ю.Крутова, А.Г.Обухов. – Екатеринбург: УрГУПС, 2017. – 335с.
В.М.Ковеня, Д.В.Чирков. Методы конечных разностей и конечных объемов для решения задач математической физики. Электронное учебное пособие. — Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2013. — 87 с.

Спасибо за внимание!

Сила Кориолиса и ее проявления
Рисунок 3 – Декартова система координат, вращающаяся вместе с Землёй
Будем полагать Землю шаром, у которого ось вращения совпадает с земной осью юг-север.
Описание происходящих в воздухе явлений происходит с привязкой к точке О.
Система xyz образует правую тройку векторов.
Скорость вращения Земли описывается вектором угловой скорости Ω.
В работах группы учёных [Баутин С.П., Крутова И.Ю., Обухов А.Г., Баутин К.В. Разрушительные атмосферные вихри: теоремы, расчёты, эксперименты, 2013 и др.] основной причиной, приводящей к закручиванию восходящих потоков, является вращение Земли вокруг своей оси, которое проявляется через силу Кориолиса (СК).

Полная система уравнений Навье-Стокса
Запишем полную систему уравнений Навье-Стокса в размерных переменных, учитывающею законы сохранения, вязкость и теплопроводность реального воздуха в поле действия сил тяжести и с учётом силы Кориолиса [Баутин С.П., Дерябин С.Л., Крутова И.Ю., Обухов А.Г. Разрушительные атмосферные вихри и вращение Земли вокруг своей оси. - Екатеринбург: УрГУПС - 2017].
(1)