Задания № 6 и 11 в ЕГЭ 2022 профильного уровня, прототипы и методические рекомендации по решению

Использование свойств производной для исследования функций
Задание 6
использование свойств производной при анализе функций,
геометрический смысл производной
физический смысл производной
первообразная функции

Физический смысл производной
Материальная точка движется прямолинейно по закону
(где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с.
Задача 1
Решение. Найдем закон изменения скорости:
При t = 9 c имеем:
Ответ: 60.

Материальная точка M начинает движение из точки A и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки A до точки M со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат — расстояние s.
Определите, сколько раз за время движения скорость точки M обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).
Задача 2
Мгновенная скорость равна производной перемещения по времени. Значение производной равно нулю в точках экстремума функции s(t). Точек экстремума на графике 6.
Ответ: 6.

Геометрический смысл производной
Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания
Точки экстремума функции
Понятие о производной функции, геометрический смысл производной
Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Решение: Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых ее производная неотрицательна, то есть промежуткам (−6; −5,2] и [2; 6). Данные промежутки содержат целые точки 2, 3, 4 и 5. Их сумма равна 14.
Задача 1
Ответ: 14

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Решение. Производная функции положительна на тех интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (−3; 0) и (4,2; 7).
В них содержатся целые точки −2, −1, 5 и 6, всего их 4.
Задача 2
Ответ: 4

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = −6.
Задачи 3
Решение. Касательная параллельна горизонтальной прямой в точках экстремумов, таких точек на графике 7.
Ответ: 7.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.
Задача 4
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны –2. Найдем количество точек, в которых это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = −2. На данном интервале таких точек 5.
Ответ: 5.

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Задача 5
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; 4), B (−6; 2), С (2; 2). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ABC. Поэтому
Ответ: 0,25.

Задача 6
На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−3; 6), B (−3; 4), C (5; 4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:
Ответ: −0,25.

Задача 7
На рисунке изображен график функции y = f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите f’(8)
Решение: Поскольку касательная проходит через начало координат, её уравнение имеет вид y = kx. Эта прямая проходит через точку (8; 10), поэтому 10 = 8 · k, откуда k = 1,25. Поскольку угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания, получаем: f’(8) = 1,25
Ответ: 1,25

Задача 8
Ответ: 0,5.

Задача 10
Проверка подстановкой показывает, что первый корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет уравнению (*). Поэтому искомая абсцисса точки касания −1.
Ответ: −1.

Задача 11

На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке x0. Найдите значение производной функции g(x) = 6f(x) − 3x в точке x0.
Задача 12
Решение.
Найдём производную функции g(x):
По рисунку найдём значение f”(x0). Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс.
Тогда
Ответ: −7.

Применение производной к исследованию функций
На рисунке изображён график y=f‘(x) — производной функции определенной на интервале (−8; 3). В какой точке отрезка [−3; 2] функция y=f(x) принимает наибольшее значение?
Задача 1
Решение. На заданном отрезке производная функции отрицательна, поэтому функция на этом отрезке убывает. Поэтому наибольшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке −3.
Ответ: −3.

Задача 2
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение. Если функция непрерывна на отрезке [a; b], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция возрастает (убывает) на отрезке [a; b].
Производная функции отрицательна, на интервалах (−1; 5) и (7; 11). Значит, функция убывает на отрезках [−1; 5] длиной 6 и [7; 11] длиной 4. Длина наибольшего из них 6.
Ответ: 6.

Задача 3
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение. Промежутки возрастания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции неотрицательна, то есть промежуткам (−11; −10], [−7; −1], [2; 3). Наибольший из них — отрезок [−7; −1], длина которого 6.
Ответ: 6.

Задача 4
На рисунке изображён график функции y = f(x) и двенадцать точек на оси абсцисс. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?
Решение.
Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция убывает. В этих интервалах лежат 7 точек.
Ответ:7.

Первообразная
Задача 1
На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) − F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Решение. Разность значений первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке трапеции Поэтому
Ответ:7.

Задача 2
На рисунке изображён график функции y = f(x).
Функция
— одна из первообразных функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Решение. Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках и
Имеем:
Ответ:6.

Задание 11
нахождение точек максимума и минимума функции
нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

Задача 1
Исследование степенных и иррациональных функций
Найдите точку максимума функции
Решение. Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Ответ: −4.

Задача 2
Найдите точку минимума функции
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Решение. Запишем функцию в виде
и найдем ее производную
Найдем нули производной:
Искомая точка минимума x=4
Ответ: 4.

Задача 1
Исследование частных
Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
Решение. Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Вычисляем значение функции в точках 1, 6, 9 и выбираем наименьший результат
y(1) = 37 y(6) = 12 y(9) = 13
Ответ: 12.

Задача 1
Исследование произведений
В точке x=7 заданная функция имеет максимум. Найдем наибольшее значение: y(7) = 1
Ответ: 1.

Задача 1
Исследование показательных и логарифмических функций
Ответ: −4,5.

Исследование тригонометрических функций
Задача 1
Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
Решение. Найдем производную заданной функции: y’ = 15 – 3 Cosx Уравнение y’ = 0 не имеет решений, производная положительна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является возрастающей. Следовательно, наибольшим значением функции на заданном отрезке является
Ответ: 5.

Задача 1
Исследование функций без помощи производной
Найдите точку максимума функции
Решение. Квадратный трехчлен
с отрицательным старшим коэффициентом достигает максимума в точке
В нашем случае — в точке −2. Поскольку функция
возрастающая, а заданная функция определена при найденном значении переменной, она достигает максимума в той же точке, в которой достигает максимума подкоренное выражение.
Ответ: −2.