ОДУ высших порядков

Содержание

Слайд 2

ОДУ высших порядков

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения

ОДУ высших порядков Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения
независимой переменной x, неизвестной функции y=f(x) и её производных (или дифференциалов):

Общим решением (общим интегралом) уравнения называется соотношение вида:                

Слайд 3

Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка

Уравнение вида
решается последовательным n-кратным интегрированием.

Пример:

Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка Уравнение вида решается последовательным n-кратным интегрированием. Пример:

Слайд 4

Переобозначив постоянные, общее решение можно записать в виде :
y = sinx +

Переобозначив постоянные, общее решение можно записать в виде : y = sinx
C1x3 + C2x2 + C3x + C4.

Пример:

Слайд 5

Порядок уравнения вида F(x, y(k), y(k+1), y(k+2), …,y(n)) = 0, не содержащего

Порядок уравнения вида F(x, y(k), y(k+1), y(k+2), …,y(n)) = 0, не содержащего
функции y(x) и (k – 1) младшую производную этой функции в явном виде, может быть понижен ровно на k единиц введением новой неизвестной функции
z(x) = y(k)(x). Тогда уравнение примет вид
т.е. будет уравнением (n – k)-го порядка.
После нахождения z(x) последовательным интегрированием решается уравнение y(k)(x)= z(x).

Слайд 6

Пример: Понизить порядок уравнения:

Младшая производная, входящая в явной форме в уравнение,

Пример: Понизить порядок уравнения: Младшая производная, входящая в явной форме в уравнение,
- вторая, поэтому делаем замену искомой функции:
Тогда        
и уравнение примет вид

Слайд 7

Определение:


где a, b и c - постоянные величины.

Линейным

Определение: где a, b и c - постоянные величины. Линейным однородным дифференциальным
однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

(А)

Формула (А) может быть записана и так:

(B)

Слайд 8

Для нахождения общего решения данного уравнения составляется характеристическое уравнение:

Это уравнение получается из

Для нахождения общего решения данного уравнения составляется характеристическое уравнение: Это уравнение получается
первоначального уравнения (А) путем замены производных искомой функции, соответствующими степенями K и сама функция заменяется единицей.

Слайд 9

Общее решение дифференциального уравнения строится в зависимости от характера корней характеристического уравнения

Общее решение дифференциального уравнения строится в зависимости от характера корней характеристического уравнения

Возможны три случая :

I случай :

и

действительные корни и различные, тогда общее решение примет вид:

(1)

Слайд 10

II случай:

- действительные и равные, тогда общее решение
примет вид:

(2)

III

II случай: - действительные и равные, тогда общее решение примет вид: (2)
случай:

и

- комплексные числа, а именно


тогда общее решение имеет вид:

(3)

Имя файла: ОДУ-высших-порядков.pptx
Количество просмотров: 42
Количество скачиваний: 0