ОДУ высших порядков

ОДУ высших порядков
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y=f(x) и её производных (или дифференциалов):
Общим решением (общим интегралом) уравнения называется соотношение вида:

Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка
Уравнение вида
решается последовательным n-кратным интегрированием.
Пример:

Переобозначив постоянные, общее решение можно записать в виде :
y = sinx + C1x3 + C2x2 + C3x + C4.
Пример:

Порядок уравнения вида F(x, y(k), y(k+1), y(k+2), …,y(n)) = 0, не содержащего функции y(x) и (k – 1) младшую производную этой функции в явном виде, может быть понижен ровно на k единиц введением новой неизвестной функции
z(x) = y(k)(x). Тогда уравнение примет вид
т.е. будет уравнением (n – k)-го порядка.
После нахождения z(x) последовательным интегрированием решается уравнение y(k)(x)= z(x).

Пример: Понизить порядок уравнения:
Младшая производная, входящая в явной форме в уравнение, - вторая, поэтому делаем замену искомой функции:
Тогда
и уравнение примет вид

Определение:
где a, b и c - постоянные величины.
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
(А)
Формула (А) может быть записана и так:
(B)

Для нахождения общего решения данного уравнения составляется характеристическое уравнение:
Это уравнение получается из первоначального уравнения (А) путем замены производных искомой функции, соответствующими степенями K и сама функция заменяется единицей.

Общее решение дифференциального уравнения строится в зависимости от характера корней характеристического уравнения
Возможны три случая :
I случай :
и
действительные корни и различные, тогда общее решение примет вид:
(1)

II случай:
- действительные и равные, тогда общее решение
примет вид:
(2)
III случай:
и
- комплексные числа, а именно
тогда общее решение имеет вид:
(3)