Замечательные точки и линии треугольника. 9 класс

СОДЕРЖАНИЕ
Ортоцентр
Точка пересечения медиан
Точки, симметричные ортоцентру относительно сторон треугольника
Точка Торричелли
Прямая Симпсона
Окружность Эйлера
Прямая Эйлера
Точки Фейербаха
Точка пересечения серединных перпендикуляров
Точка пересечения биссектрис

Ортоцентр треугольника
A1, B1, C1 – основания высот ∆ABC;
H – ортоцентр ∆ABC
A
C
B
B1
H
A1
C1
A
C
B
H
A1
B1
C1

Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
A
B
C
О
С1
В1
А1
A1, B1, C1 – основания серединных перпендикуляров к сторонам ∆ABC;
О – центр окружности, описанной около ∆ABC
A
C
B
A1
B1
C1
О

Точка пересечения биссектрис треугольника
A
C
B
V
M
N
P
M, N, P – основания биссектрис ∆ABC;
V – центр окружности, вписанной в ∆ABC

Точка пересечения медиан треугольника
A
B
т.G – точка пересечения медиан треугольника ∆ABC.
G
С1
В1
А1
AG : GA1 = 2 : 1
BG : GB1 = 2 : 1
CG : GC1 = 2 : 1
C
A1, B1, C1 – основания медиан ∆ABC;

A
C
B
B1
H
A1
C1
А2
A1, B1, C1 – основания высот;
H – ортоцентр ∆ABC
C2
B2
A2, B2, C2– точки, симметричные т.Н относительно сторон ∆ABC
Точки, симметричные ортоцентру относительно сторон остроугольного треугольника
Лежат ли точки
А, А2, В, В2, С, С2
на одной окружности?
ПРОВЕРКА
Доказательство

Докажем, что т.А2 лежит на окружности, описанной около остроугольного ∆ABC
A
C
B
H
А2
H – ортоцентр ∆ABC
A2 – точка, симметричная т.Н относительно стороны BC
B1
Доказательство:
Проведем отрезок ВА2.
2. ∆A1HB = ∆A1A2В;
3. ∆A1HB ~ ∆B1СВ;
4. Из 2. и 3.: ∆A1A2В ~∆B1СВ;
5. Из 4. : LA1A2В = LB1СВ;
6. Эти углы равны и опираются на отрезок АВ;
7. Сл-но, LA1A2В и LB1СВ вписаны в одну окружность с хордой АВ, а значит т.А2 принадлежит окружности, описанной около ∆ABC.
Ч.Т.Д.
A1
Точки, симметричные ортоцентру относительно сторон остроугольного треугольника

A
C
B
H
A1
В2
B1
А2
НА1 = А1А2
C1
C2
НB1 = B1B2
НC1 = C1C2
ПРОВЕРКА
Лежат ли точки
А, А2, В, В2, С, С2
на одной окружности?
Доказательство
Точки, симметричные ортоцентру относительно сторон тупоугольного треугольника

A
C
B
H
A1
В2
B1
А2
НА1 = А1А2
C1
C2
НB1 = B1B2
НC1 = C1C2
Докажем, что т. В2 лежит на окружности, описанной около тупоугольного ∆ABC.
1. Проведем отрезок АВ2.
H – ортоцентр ∆ABC
Доказательство:
Точки, симметричные ортоцентру относительно сторон тупоугольного треугольника
2. ∆AHB! = ∆AВ2В1;
3. ∆AHB1 ~ ∆ВСВ1 (т.к. ∆ВНА1 ~ ∆BСВ1,
а следовательно, LA1НВ = LВСВ1);
4. Из 2. и 3. следует: ∆AВ2В1~∆BСВ1;
5. Из 4. следует: L AВ2В = L АСВ;
6. Эти углы равны и опираются на АВ;
7. Сл-но, LAВ2В и LАСВ вписаны в одну окружность с хордой АВ, а значит, т.В2 принадлежит окружности, описанной около ∆АBС.
Ч.Т.Д.

Верите ли вы, что
окружности, описанные около ∆AB1C, ∆AC1В и ∆BА1C,
ПРОВЕРКА
Доказательство
A1
A
B1
C1
B
C
M
Построим на сторонах ∆АВС равносторонние треугольники.
Точка Торричелли
пересекаются в одной точке?

A1
A
B1
C1
B
C
M
Доказательство:
2. L AMC=1200
3 L BMC=1200.
4. Следовательно, L AMB=1200.
5. LAMB + LAСB =1800.Значит, т.М лежит на окружности, описанной около ∆С1АВ.
1. Построим окружности описанные около ∆АВ1С и ∆А1ВС.
?
Точка Торричелли
Ч.Т.Д.

A1
A
B1
B
C
M
Доказательство:
L AMC=1200
?
Четырехугольник АМСВ1 – вписан в окружность. Следовательно, сумма его противоположных углов равна 180º.
2. Т.е. LАВ1С + LАВ1С = 180º
LАВ1С = 60º
Четырехугольник АМСВ1 – вписан в окружность. Следовательно, сумма его противоположных углов равна 180º.
60º
120º
Сл-но, LАВ1С = 180º - 60º = 120º.
Точка Торричелли

A
B
C
О
P
F
E
D
Прямая Симпсона
Верите ли вы, что
Доказательство
ПРОВЕРКА
лежат на одной прямой?
основания перпендикуляров, опущенных из любой точки описанной около него окружности на три стороны треугольника
В произвольном ∆АВС

A
B
C
О
P
F
E
D
Прямая Симпсона
Доказательство:
1.Т.к. LCFP = LCEP = 90º,
то около четырехугольника CFЕP можно описать окружность.
Следовательно, LCEF = LCPF как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу окружности.
2. LCPF =90º - LPCF= =90º - LDBP = LBPD.
3. Т.к. LBEP = LBDP = 90º,
То около четырехугольника BEPD можно описать окружность.
Поэтому LBPD = LBED.
4. Сл-но, LCEF = LBED.
5. Значит, точки D, E, F – лежат на одной прямой.
?
Ч.Т.Д.

A
B
C
О
P
F
E
D
Прямая Симпсона
Доказательство:
Рассмотрим LPCА и LАBP.
а) Эти углы опираются на одну хорду AP, их вершины расположены в разных полуплоскостях от AP.
Следовательно,
LPCА =180º - LАBP.
б) LАBP и LDBP – смежные.
Следовательно,
LDBP = 180º - LАBP
в) Значит, LPCА = LDBP, т.е.
LPCF = LDBP
Следовательно, LCPF =90º - LPCF=90º - LDBP = LBPD.
2. LCPF =90º - LPCF= =90º - LDBP = LBPD.
?

A
C
B
E
D
F
B1
A1
C1
X
Y
Z
Верите ли вы, что
ПРОВЕРКА
Доказательство
В произвольном ∆АВС:
Окружность Эйлера
- середины его сторон А1, В1 , С1;
- основания его высот D, E, F;
- середины отрезков AH,BH,CH – точки X,Y,Z
лежат на одной окружности?
H

A
C
B
B1
A1
C1
X
Y
Z
E
D
F
H
Доказательство:
1. Т.к. АС1=С1В и АХ=ХН, то С1Х II BF.
2. Т.к. ВА1=А1С и А1С=С1В, то А1С1IIAC.
3. Т.к. BF ┴ AC, то С1Х ┴ А1С1.
4. Аналогично, В1Х ┴ А1В1.
5. Следовательно точки С1, А1, В1, Х – лежат на одной окружности.
6. Т.К. XD ┴ DA1, то X, D, A1, B1 лежат на одной окружности.
7. Следовательно, точки X и D лежат на одной окружности, описанной около ∆А1В1С1.
8. Аналогично доказывается, что точки Y, E и Z, F лежат на этой окружности.
Окружность Эйлера
?
?
Ч.Т.Д.

A
C
B
B1
A1
C1
X
Y
Z
E
D
F
H
1. Т.к. АС1=С1В и АХ=ХН, то С1Х II BF
Окружность Эйлера
?
В ∆АВН ХС1.- средняя линия.
Следовательно, С1Х II BF .

A
C
B
B1
A1
C1
X
E
D
F
H
Точки С1, А1, В1, Х – лежат на одной окружности.
Окружность Эйлера
?
Доказано, что
С1Х ┴ А1С1 и В1Х ┴ А1В1
Следовательно, в четырехугольнике А1В1ХС1.сумма противоположных углов равна 180º
Т.е. LА1С1Х + LА1В1Х = 180º
Следовательно, вокруг четырехугольника А1В1ХС1.можно описать окружность.
Следовательно точки С1, А1, В1, Х – лежат на этой окружности.

A
C
B
E
D
F
B1
A1
C1
X
Y
Z
Верите ли вы, что
Доказательство
G
O
ПРОВЕРКА
N
H
лежат на одной прямой?
- ортоцентр H,
- центр тяжести G,
- центр описанной около ∆АВС окружности т.O
В произвольном ∆АВС:
A1, B1, C1 – середины сторон ∆АВС
Прямая Эйлера

A
C
B
D
F
B1
C1
G
О
N
H
Дано:
Пусть в ∆АВС
т.O-центр описанной окр-ти
G – т. пересечения медиан
В1, С1 – середины АС и АВ
BF – высота
Пусть т.Н - т.пресечения прямой OG с высотой BF.
Докажем, что
Н – точка пересечения высот.
1.Т.к. BF II OB1,
то ∆BGH ~ ∆B1GO.
2. Сл-но HG:GO=BG:GB1=2:1,
3. CG:GC1= 2:1. Значит, CG:GC1=HG:GO. Сл-но, ∆СGH ~ ∆С1GO.
Доказательство:
4. Поэтому LGHС = LGOС1, а значит СНIIOC1, а ОС1 ┴ АВ.
5. Cл-но СН ┴ АВ, т.е. CD – высота ∆АBС.
6. Значит т.Н – точка пересечения высот.
Прямая Эйлера
?
?
Ч.Т.Д.

A
C
B
D
F
B1
C1
G
О
N
H
Дано:
Пусть в ∆АВС
т.O-центр описанной окр-ти
G – т. пересечения медиан
В1 – середина АС
BF – высота
Пусть т.Н - т.пресечения прямой OG с высотой BF.
1.Т.к. BF II OB1,
то ∆BGH ~ ∆B1GO.
Доказательство:
Прямая Эйлера
?
О –центр описанной окружности, В1 – середина АС. Сл-но, ОВ1 ┴ АС.
2. ОВ1 ┴ АС, BF ┴ АС. Сл-но, BF II OB1
3. Т.к. BF II OB1, а L BGH и L B1GO – вертикальные, то соответственные углы ∆BGH и ∆ B1GO равны.
Сл-но треугольники ∆BGH ~ ∆B1GO.

A
C
B
D
F
B1
C1
G
О
N
H
Дано:
Пусть в ∆АВС
т.O-центр описанной окр-ти
G – т. пересечения медиан
В1, С1 – середины АС и АВ
BF – высота
Пусть т.Н - т.пресечения прямой OG с высотой BF.
2. HG:GO=BG:GB1=2:1, CG:GC1=HG:GO.
Прямая Эйлера
?
BG:GB1=1:2, т.к.
т. G – точка пересечения медиан ВВ1 и СС1 ∆АBС , а значит делит медианы треугольника в отношении 2:1, считая от вершины.

A
C
B
E
D
F
B1
A1
C1
X
Y
Z
- Середины его сторон А1, В1, С1, - Основания его высот D, E, F, - Середины AH, BH, CH – точки X,Y,Z
K3
K1
K2
K
Точки Фейербаха
- т. K , К1 , К2 , К3

A
C
B
B1
H
A1
C1
А2
C2
B2
Точки, симметричные ортоцентру относительно сторон остроугольного треугольника

A
C
B
H
A1
В2
B1
А2
C1
C2
Точки, симметричные ортоцентру относительно сторон тупоугольного треугольника

C
A1
B
D
A2
A3
Точка Торричелли

A
B
C
О
P
F
E
D
Прямая Симпсона

A
C
B
B1
A1
C1
X
Y
Z
D
F
E
H
Окружность Эйлера

A
C
B
E
D
F
B1
A1
C1
X
Y
Z
G
O
N
H
Прямая Эйлера

A
C
B
E
D
F
B1
A1
C1
X
Y
Z
K3
K1
K2
K
X
Y
Z
Окружность Эйлера и точки Фейербаха

A
C
B
D
F
B1
C1
O
N
H
Окружность Эйлера
E
A1
OB = 2.NA1
или
Rописанной окр. = 2Rокр.Эйлера

A
C
B
E
D
F
B1
A1
C1
X
Y
Z
В ∆АВС:
Окружность Эйлера
А1, В1, С1 - середины сторон
D, E, F - основания высот
X, Y, Z - середины отрезков AH,BH,CH
H
∆АВH
∆ВСH
∆АСH

Точка Торричелли
A1
A
B1
C1
B
C
M
AA1
BB1
CC1
=
=
Если точка Торричелли М лежит внутри треугольника, то сумма расстояний от точки М до вершин треугольника
MА+MВ+MС -
минимальна
2.
3.

A
B
C
О
P
F
E
D
F1
E1
D1
H
Прямая Симпсона делит отрезок РН пополам!
F1, E1, D1 - симметричны точке Р относительно сторон ∆АВС.
F1, E1, D1 - лежат на одной прямой F1D1 .
К
РК = КН
Прямая F1D1 проходит через ортоцентр Н ∆АВС.
Прямая Симпсона