В. А. Каштанов, О. Б. Зайцева О минимаксных подходах в задачах безопасности

Высшая школа экономики, Москва, 2018
Аннотация
фото
фото
В статье исследуется модель управляемого полумарковского
процесса с катастрофами применительно к проблеме
безопасности.
Создается математическая модель
Вводятся характеристики (показатели) безопасности.
Устанавливается связь характеристик надежности и
характеристик безопасности.
Анализируется ситуация выбора оптимальной стратегии
управления в условиях неполной информации о характеристиках
надежности системы.

Высшая школа экономики, Москва, 2018
Проблема безопасности
фото
фоо
фото
Безопасность - свойство процесса функционирования системы.
Основная проблема заключается в выработке стратегии управления процессами функционирования и существования (эволюции) субъектов, которая обеспечивала бы оптимальное в каком-то смысле течение этих процессов

Высшая школа экономики, Москва, 2018
Управляемый полумарковский процесс с катастрофами
фото
фото
о
Управляемый полумарковский процесс с катастрофами:
- считающий процесс

Высшая школа экономики, Москва, 2018
Управляемый полумарковский процесс с катастрофами
фото
фото
о
Компоненты увяжем с моментом появления события,
называемого катастрофой. Если для некоторого t > 0
то считаем, что на периоде
произошла катастрофа в момент

Высшая школа экономики, Москва, 2018
Модель защиты
фото
фото
о
Процесс атак описывается процессом Пуассона с параметром λ:
Время безотказной работы:

Высшая школа экономики, Москва, 2018
Модель защиты
фото
фото
о
В начальный момент времени начинается эксплуатация системы
и назначается плановая профилактика системы через ν ≥ 0,
распределенное по закону
Если к назначенному времени ν = τ система не отказала, то начинается профилактика системы длительностью
Если отказ произошел до назначенного момента ν = τ
(произошло событие ), то начинается аварийное
обновление системы длительностью

Высшая школа экономики, Москва, 2018
Построение управляемого полумарковского процесса с катастрофами
фото
фото
о
= 0, если система в данных момент находится в обновленном
состоянии и исправно функционирует
= 1, если в данных момент происходит профилактика
системы
= 2, если в данных момент происходит аварийное восстановление системы
Таким образом, множество состояний:
Множество управлений:

Высшая школа экономики, Москва, 2018
Построение полумарковского ядра
фото
фото
о

Высшая школа экономики, Москва, 2018
Построение управляемого полумарковского процесса с катастрофами
фото
фото
о
Воспользуемся формулой:
Тогда

Высшая школа экономики, Москва, 2018
Построение управляемого полумарковского процесса с катастрофами
фото
фото
о
Предельным переходом получаем переходные вероятности состояний
Вложенной цепи Маркова:

Высшая школа экономики, Москва, 2018
Распределение моментов катастроф
фото
фото
о

Высшая школа экономики, Москва, 2018
Распределение моментов катастроф
фото
фото
о
-- условная вероятность того, что процесс перешел в состояние j, и на этом переходе не произошло катастрофы при условии, что процесс пребывал в состоянии i.
, где

Высшая школа экономики, Москва, 2018
Распределение моментов катастроф
фото
фото
о
- вероятность того, что на периоде не произошло катастрофы при условии, что процесс пребывал в состоянии i.
- катастрофа произойдет с вероятностью 1
- катастрофа произойдет с вероятностью 0

Высшая школа экономики, Москва, 2018
Распределение моментов катастроф
фото
фото
о

Высшая школа экономики, Москва, 2018
Математическое ожидание времени до катастрофы
фото
фото
о
Теорема.
Если в каждом неразложимом классе состояний вложенной цепи
Маркова управляемого полумарковского процесса с катастрофами
и конечным множеством состояний есть хотя бы одно опасное или
особо опасное состояние, то математическое ожидание существует
и представляется в виде:
, где

Высшая школа экономики, Москва, 2018
Математическое ожидание времени до катастрофы
фото
фото
о
Математическое ожидание времени до катастрофы есть дробно-линейный функционал

Высшая школа экономики, Москва, 2018
Математическое ожидание времени до катастрофы
фото
фото
о
Оптимальную стратегию управления можно искать в классе детерминированных стратегий
Тогда выражение для матожидания немного упрощается

Высшая школа экономики, Москва, 2018
Максимизация математического ожидания времени до катастрофы
фото
фото
о
Вывод: нужно назначать проведение предупредительных профилактик через , тогда получим максимальное математическое ожидание времени до катастрофы
Находим оптимальное управление

Высшая школа экономики, Москва, 2018
Управление при неполной информации
фото
фото
о
Рассмотрим две ситуации:
1) В результате статистических испытаний определяются значения
функций распределения F в отдельных точках.
- множество распределений, которые в n заданных точках
принимают заданное значение.
Тогда можно считать, что
2) В результате статистически испытаний определяются
оценки матожидания.
- множество распределений с фиксированным математическим ожиданием.
Тогда можно считать, что

Высшая школа экономики, Москва, 2018
Постановка задачи при неполной информации
фото
фото
о
Математическое ожидание времени до катастрофы зависит еще и от распределения F
Задача. Найти
А также распределения , на которых этот максимум
достигается