Функция нескольких переменных. Общие свойства. Непрерывность функции. Линии уровня, поверхности уровня. (Семинар 21)
Определение 1 Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга переменных величин x,y из некоторой области их изменения D соответствует определенное значение величины z, то z есть функция двух независимых переменных x,y, определенных в области D. Обозначение: z=f(x,y), z=F(x,y), и так далее. Способы задания функции: аналитический, табличный, графический. Определение 2 Совокупность пар (x,y) значений x,y, при которых определена функция z=f(x,y), называется областью определения или областью существования этой функции. Пусть дана функция z=f(x,y), определенная в некоторой области G плоскости OXY. Рассмотрим некоторую определенную точку , лежащую в области G или на ее границе. Определение 3 Число А называется пределом функции f(x,y) при стремлении точки M(x,y) к точке , если для каждого числа найдется такое число r>0, что для всех точек M(x,y), для которых выполняется неравенство имеет место неравенство Определение 4 Пусть точка принадлежит области определения функции f(x,y). Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке , если имеет место равенство (1) Причем точка M(x,y) стремится к точке произвольным образом, оставаясь в области определения функции. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Если в некоторой точке не выполняется условие (1), то точка называется точкой разрыва функции z=f(x,y). Условие (1) может не выполняться, например, в следующих случаях: 1) z=f(x,y) определена во всех точках некоторой окрестности точки , за исключением самой точки . 2) z=f(x,y) определена во всех точках окрестности точки , но не существует 3) z=f(x,y) определена во всех точках окрестности точки и существует , но Определение 5 Линией уровня функции z=f(x,y) называется линия z=f(x,y)=с на плоскости OXY, в точках которой функция сохраняет постоянное значение z=c.
Slaidy.com
