«Нахождение корней кубических многочленов» ученик 10”a” класса гимназии №144 Калининского района г.Санкт-Петербург

Вы спрашиваете зачем я это делаю?
Цель моего исследования:
Выяснить плюсы и минусы решений кубических уравнений различных математиков.
Выбрать самые лёгкие и практичные пути решения.

План работы:
Введение
Способы решения
а)Теорема Виета
1)Биография
2)Решение
б)Схема Горнера
1)Биография
2)Решение
в)Решение других учёных
1)Краткая информация об учёных
2)Факты их исследований
Сравнение методов решения
Итог
Литература использованная в презентации

Для нахождения корней кубического многочлена существует несколько способов:
Теорема Виета
Схема Горнера
Другие способы
сравнение способов

Франсуа Виет (1540-1603)
Французский математик, разработал почти всю элементарную алгебру. Известны «формулы Виета», дающие зависимость между корнями и коэффициентами алгебраического уравнения . Франсуа Виет - математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде.

Франсуа Виет — замечательный французский математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель буквенного исчисления.

Он прославился тем, что сумел расшифровать код перехваченной переписки короля Испании с его представителями в Нидерландах, благодаря чему король Франции был полностью в курсе действий своих противников.

Код был сложным, содержал до 600 различных знаков, которые периодически менялись. Испанцы не могли поверить, что его расшифровали, и обвинили французского короля в связях с нечистой силой. К этому времени относятся свидетельства современников Виета о его огромной трудоспособности. Будучи чем-то увлечен, ученый мог работать по трое суток без сна.

Теорема Виета
Кубическое уравнение
Если:
x1,x2,x3 корни кубического уравнения:
p(x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0, то :
x1+x2+x3=-b/a
x1x2+x2x3+x3x1=c/a
x1x2x3=-d/a

Пример(теорема Виета):
x3-8x2+40=0
Пусть x1,x2,x3 корни этого кубического уравнения,то:
x1+x2+x3=-(-8)/1 x1=-2
x1x2+x2x3+x3x1=0/1 x2=5+√5
x1x2x3=-40/1 x3=5- √5
Ответ: (-2;5-√5;5+√5)

Горнер Уильям Джордж (1786 - 1837)
Английский математик. Основные исследования относятся к теории алгебраических уравнений. Разработал способ приближенного решения уравнений любой степени. В 1819 г. ввёл важный для алгебры способ деления многочлена на двучлен х - а (схема Горнера).

Метод решения Горнера(схема Горнера):
x3-8x2+40=0
Так как корни этого уравнения содержаться среди делителей свободного члена ,то корни будут такими:1 и -1; 2 и -2; 4 и -4 и все остальные
X=2 не корень, так как остаток должен равняться «0»
Подставим второй делитель

(x+2)(x2-10x+20)=0
x=-2
x=5+√5
x=5-√5
/
x2-10x+20=0 x=(10(+/-)√20)/2
D=b2-4ac x=5+√5
D=100-80=20 x=5-√5
x=(-b(+/-)√D)/2a /
Ответ: (-2;5-√5;5+√5)

Другие способы решения:
Первым, кто смог найти приближенные решения кубических уравнений, был Диофант(≈3 век н.э.), тем самым заложив основу метода хорд. Сохранившиеся работы Диофанта сообщают об этом.

Исаак Ньютон(1643-1727)
Сохранившиеся работы Диофанта сообщают об этом. Однако первым, кто понял его методы, был Ферма в XVII веке, а первым,кто дал объяснение методу хорд, был Ньютон(1670-е гг.) Метод старый и совсем неудобен в решении.Во многом уступает схеме Горнера и теореме Виета.

Другие способы решения:
Джироламо Кардано (1501-1576)
Его способ для решения неполных кубических уравнений.Также как и начальный способ во всем уступает теории Виета и схеме Горнера.

Сравнения схемы Горнера и теоремы Виета.
В каждом из методов решения есть свои плюсы и минусы, во многом они дополняют друг друга, например если у кубического уравнения слишком большие коэффициенты, его можно решить с помощью схемы Горнера и проверить теоремой Виета.
+/- Теорема Виета
+/- Схемы Горнера
Итог

+/- теоремы Виета
+
Самый быстрый способ решения кубического уравнения;
Легко можно использовать при проверке ответа;
-
Невозможно использовать в уравнениях с большими коэффициентами.

+/- схемы Горнера
+
С помощью схемы можно решать все виды кубических многочленов;
Этот способ решения почти до конца убрал вероятность арифметической ошибки;
-
Решение этим способом требует не мало времени.

Итог моих исследований:
Просмотрев множество способов решения кубических уравнений я остался верен двум на мой взгляд самым надёжным и практичным способам - это теорема Виета и схема Горнера, они позволяют быть уверенным в своем ответе.
Теперь, выбирая между ними, мне стоит лишь посмотреть на сложность коэффициента уравнения.

Своей работой я смог помочь в выборе решений себе и моим одноклассникам.
Я считаю что способы решения кубических уравнений необходимы в жизни, ведь ещё в древние времена учёные пытались найти свой метод поиска ответов на них.