Фигура. Мера, диаметр фигуры

Фигура. Мера, диаметр фигуры. Ранг дробления
Под фигурой будем понимать один из следующих геометрических объектов:
I. [a,b] - отрезок
Определение 1.
II. L - дуга кривой
III. D – часть плоскости
V. T – часть тела

Определение 2.

Определение 3.
Диаметром фигуры называется максимальное расстояние между двумя любыми точками фигуры
Пример 1.

Пример 2.
- прямоугольный параллелепипед со сторонами a, b, c.

В дальнейшем будем часто использовать следующий прием:
разбиение (дробление) фигуры Ф на n непересекающихся областей Ф1, Ф2, … Фn.
Каждой полученной фигуре соответствует свой диаметр
Определение.

Задача о вычислении массы фигуры
Рассмотрим фигуру Ф.
I. Если Ф однородная фигура, то
Решение
- плотность распределения массы по фигуре.

II. Если Ф - неоднородная фигура
Выполним следующие действия:
1. Разобьем Ф на Ф1, Ф2, … Фn.
Каждая из элементарных фигур характеризуется своей мерой

- приближение!

- точный результат
4. Вычисление массы mФ

Определение интеграла по фигуре
Выполним последовательность действий, аналогичную п. 2.
1. Разобьем Ф на Ф1, Ф2, … Фn.
Рассмотрим фигуру Ф.
2.
- интегральная сумма для f(P) по Ф

3. Организуем последовательность дроблений
имеем последовательность интегральных сумм
Определение.
Интегралом функции f(P) на фигуре Ф называется число

Теорема (о существовании интеграла по фигуре)
Если
то существует интеграл по фигуре
1. функция f(P) непрерывна по фигуре Ф
2. фигура Ф – замкнутая, ограниченная, односвязная,

Определение.
Если любые две точки области можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в этой области, то область называется односвязной.
Односвязная область
Двусвязная область

Классификация интегралов по фигуре
- определенный интеграл
2. Ф – дуга линии L
- криволинейный интеграл первого рода

- двойной интеграл
- площадь элементарной поверхности
- поверхностный интеграл первого рода

- тройной интеграл
Фигура – пространственная область

Механический смысл интегралов по фигуре
см.вопрос 2

Геометрический смысл интегралов по фигуре
Из пункта 4
В частности:
Полученными формулами необходимо уметь пользоваться и в прямом, и в обратном направлениях!

Свойства интегралов, выраженные равенствами
1.
Доказываются с помощью определения!
2.
линейность
3.
- аддитивность

Свойства интегралов, выраженные неравенствами
2. Если
то
то

3. Если
то