Глава II. Векторная алгебра. Элементы теории линейных пространств и линейных операторов

§ 6. Векторы. Линейные операции на
множестве векторов
1. Определение вектора. Основные отношения
на множестве векторов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектором называется направленный отрезок (т.е. отрезок, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая – за конец).

Расстояние от начала вектора до его конца называется длиной (или модулем) вектора.
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.
Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым.
Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю.
Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными (параллельными).

2. Линейные операции на множестве векторов
1) Умножение на число; 2) Сложение векторов

СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ НАД ВЕКТОРАМИ

§ 7. Понятие линейного пространства
1. Определение и примеры
Пусть L – некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на числа из F (где F – множество рациональных, действительных или комплексных чисел).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Множество L называется линейным пространством над F если для любых элементов a,b,c∈L и для любых чисел α,β∈F выполняются условия:
1. a+b=b+a (коммутативность сложения элементов из L);
2. (a+b)+c=a+(b+c) (ассоциативность сложения элементов из L);
3. Во множестве L существует такой элемент o, что a+o=a. Элемент o называют нулевым элементом множества L;
4. Для любого элемента a∈ L ∃ элемент –a∈ L такой, что a+(–a)=o. Элемент –a называют противоположным к a;
5. α(βa)=(αβ)a (ассоциативность относительно умножения чисел);

6. (α+β)a=αa+βa (дистрибутивность умножения на элемент из L относительно сложения чисел);
7. α(a+b)=αa+αb (дистрибутивность умножения на число относительно сложения элементов из L);
8. 1a=a.
Линейное пространство над ℝ называют еще вещественным (действительными) линейным пространством, а над ℂ – комплексным.
ЛЕММА 2. Пусть L – линейное пространство над F. Тогда для любых элементов a,b∈ L и любых чисел α,β∈ F справедливы следующие утверждения:
1) 0·a = o, α·o = o;
2) (–α) · a = α ·(–a) = –αa, (–α) ·(–a) = αa;
3) α ·(a–b) = αa – αb, (α–β) · a = αa – βa.
Наряду с термином «линейное пространство» используется также термин «векторное пространство», а элементы линейного пространства принято называть векторами.