Интегрирование рациональных дробей

§23. Интегрирование рациональных дробей
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рациональной дробью называется отноше-
ние 2-х многочленов, т.е. функция вида
где Pm(x), Pn(x) – многочлены степени m и n соответственно.
Если m < n, то рациональная дробь называется правильной.
В противном случае (т.е. если m ≥ n) дробь называется неправильной.
Неправильная рациональная дробь представима в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:
где Q(x) – некоторый многочлен степени m – n,
Pr(x) – многочлен степени r < n.
(многочлены Q(x) и Pr(x) получаются в результате деления с остатком Pm(x) на Pn(x) )

1. Интегрирование простейших
рациональных дробей
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Простейшими рациональными дробями I, II, III, IV типа называются соответственно правильные дроби вида
где D = b2 – 4c < 0 , m – натуральное число (m > 1).
1) Интегрирование простейших дробей I типа:
2) Интегрирование простейших дробей II типа:

3) Интегрирование простейших дробей III типа:
а) Выделим полный квадрат в знаменателе:

б) Сделаем замену:
В результате интеграл будет приведен к виду
в) Представим получившийся интеграл в виде суммы 2-х интегралов:
В первом – внесем под знак дифференциала знаменатель,
Второй интеграл – табличный:
г) Вернемся к исходной переменной x .

4) Интегрирование простейших дробей IV типа:
а) Выделим полный квадрат в знаменателе:
б) Сделаем замену:
В результате интеграл будет приведен к виду
в) Представим получившийся интеграл в виде суммы 2-х интегралов:
Первый из этих интегралов найдем, внеся t2 + q2 под знак дифференциала:

Для интеграла справедлива рекуррентная формула:
(1)
где
Применив формулу (1) последовательно (m – 1) интеграл Jm сведется к табличному интегралу
г) Вернемся к исходной переменной x .

2. Интегрирование правильных
рациональных дробей
Пусть – правильная рациональная дробь.
Запишем Pn(x) в виде произведения линейных и квадратичных множителей:
где

ТЕОРЕМА 1.
Любая правильная рациональная дробь единственным образом представима в виде суммы конечного числа простейших рациональных дробей.
При этом между слагаемыми этой суммы и множителями в разложении (2) имеет место следующее соответствие:
1) каждому множителю вида (x – a)k соответствует сумма из k простейших дробей вида
где A1 , A2 , …, Ak – некоторые числа;
2) каждому множителю вида (x2 + bx + c)t соответствует сумма из t простейших дробей вида
где B1 , B2 , …, Bt , C1 , C2 , …, Ct – некоторые числа.

ПРИМЕРЫ.

Разложение конкретной правильной рациональной дроби в сумму простейших обычно производят методом неопреде-
ленных коэффициентов, который представляет собой следующую последовательность действий:
1) записываем знаменатель Pn(x) в виде произведения линейных и неразложимых квадратичных множителей;
2) записываем разложение дроби в сумму простейших с неопределенными коэффициентами в числителях (по теореме 1);
3) складываем простейшие дроби и приравниваем многочлен Qr(x), получившийся в числителе, числителю исходной дроби Pr(x);
4) из равенства Qr(x) = Pr(x), приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x многочленов Qr(x) и Pr(x), получим систему r линейных уравнений для нахождения r неизвестных коэффициентов.