Курс лекций по теоретической механике

Лекция 8.
Сложение параллельных сил.
Центр параллельных сил.
Центр тяжести. Определение положения центра тяжести однородных тел. Центры тяжести простейших фигур. Способы определения положения центров тяжести.

Лекция 8
Сложение параллельных сил – Сложение двух параллельных сил подробно рассмотрено в демонстрационной программе автора по теории пар “Теория пар” на сайте МИИТа. Посмотреть… ). Основной результат – две параллельные и направленные в одну сторону силы приводятся к одной силе – равнодействующей, приложенной в точке, делящей прямую на расстояния, обратно пропорциональные величинам сил.
Последовательно складывая попарно параллельные силы приходим также к одной силе – равнодействующей R:
Поскольку силу можно переносить по линии ее действия, то точка приложения силы (равнодействующей) по существу не определена. Если все силы повернуть на один и тот же угол и вновь провести сложение сил, то получаем другое направление линии действия равнодействующей. Точка пересечения этих двух линий действия равнодействующих может рассматриваться, как точка приложения равнодействующей, не изменяющей своего положения при одновременном повороте всех сил на один и тот же угол. Такая точка называется центром параллельных сил
Центр параллельных сил –точка приложения равнодействующей, не изменяющей своего положения
при одновременном повороте всех сил на один и тот же угол.
С
Для аналитического определения положения центра параллельных сил применим теорему Вариньона:
или .
A
Каждую из сил представим с помощью единичного вектора e , параллельному линиям действия сил:
и .
Тогда предыдущее равенство примет вид: или после перестановки скалярных множителей в векторных произведениях
Из равенства векторных произведений и идентичности второго сомножителя следует: , откуда
Проекции полученного соотношения для радиуса-вектора центра параллельных сил на координатные оси дают аналитические формулы для определения координат центра параллельных сил:
Центр тяжести – центр приложения равнодействующей сил тяготения (веса) материального тела.
При определении положения центра тяжести тела используются гипотезы:
1. Линии действия сил тяготения, приложенные к отдельным частицам тела, параллельны (рассматриваемые тела имеют размеры много меньшие радиуса Земли и углом между линиями действия сил тяготения частиц тел можно пренебречь);
2. Ускорение свободного падения g = const (высота рассматриваемых тел много меньше радиуса Земли и изменением величины ускорения свободного падения по высоте тела можно пренебречь)
3. Рассматриваемые тела – однородные (нет включений материалов с другой плотностью) и сплошные (нет пустот).
С учетом принятых гипотез при определении положения центра тяжести можно использовать формулы для определения положения центра параллельных сил:
где ΔG – силы тяжести элементарных объемов.
23

Лекция 8 (продолжение – 8.2)
Определение положения центра тяжести однородных тел – Выделим элементарный объем dV = dxdydz. Сила тяжести такого объема равна dG =γdV, где γ =const - объемный вес. Замена суммирования дискретных сил тяжести ΔGi непрерывным распределением приводит к интегральным выражениям по объему тела для определения координат центров тяжести, например, координаты xC:
В частном случае плоского тела (постоянной толщины H =const ), dV = Hdxdy = HdS:
Для всех трех координат получаются подобные выражения:
Для линейного тела (постоянного поперечного сечения S = const,
ось – плоская кривая), dV = SdL:
Определение положения центра тяжести простейших плоских тел:
Прямоугольник: dS=bdy
Треугольник:
Круговой сектор:
24