Лекция 1. Математические методы планирования риска

Математические методы планирования риска
(с) Н.М. Светлов, 2007
/21
Литература
Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе : Учеб. пособие / А.М. Дубров, Б.А. Лагоша, Е.Ю. Хрусталёв, Т.П. Барановская; Под ред. Б.А. Лагоши. - 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2003.
Управление фирмой / Под ред. Л.Л. Разумновой. М.: МАКС Пресс, 2009. — Часть 2, с. 6-11.
Баумоль У. Экономическая теория и исследование операций. М.: Прогресс, 1965.
Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970.
Фридмен М., Сэвидж Л.Дж. Анализ полезности при выборе среди альтернатив, предполагающих риск // Теория потребительского поведения и спроса: Вехи экономической мысли: Вып. 1. СПб.: Экономическая школа, 1993. – с. 208-249.
Светлов Н.М., Светлова Г.Н. Построение и решение оптимизационных моделей средствами программ MS Excel и XA: Методические указания для студентов экономического факультета / РГАУ – МСХА имени К.А. Тимирязева. М., 2005. http://svetlov.timacad.ru/umk1/xa_1.doc
Arrow K.J. Essays in the theory of risk-bearing. Chicago: Markham, 1971.
Pratt J.W. Risk aversion in the small and in the large // Econometrica, 1964, v.32, p.122-136.

Математические методы планирования риска
(с) Н.М. Светлов, 2007
/21
1.1. Функция полезности в условиях риска
Пусть имеется три варианта ведения бизнеса:
Какой вариант предпочесть?
(предположим, что исходы равновероятны)

Математические методы планирования риска
(с) Н.М. Светлов, 2007
/21
1.1.
Наименьший возможный убыток – вариант A (безубыточен, прибыль не менее 100 ед.)
Наибольшая возможная прибыль – вариант C (450 ед.)
Наибольшее математическое ожидание прибыли – вариант C (117 ед.)
Набольшее математическое ожидание прибыли при условии безубыточности – вариант A (100 ед.)

Математические методы планирования риска
(с) Н.М. Светлов, 2007
/21
1.1.
Существует ли общее правило выбора?
Ответ Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна: Да.
Пусть вариант выбора описывается парой векторов ($,p), где $ — значения прибыли (убытка), p — их вероятности
Тогда общее правило выбора в условиях риска может быть построено на следующих пяти аксиомах:
Предпочтения между вариантами обладают полнотой и транзитивностью:
– для любых ($,p)1 и ($,p)2 непременно имеет место одно из следующего: ($,p)1 ($,p)2; ($,p)1 ($,p)2; ($,p)1 ~ ($,p)2;
– если ($,p)1 ($,p)2 и ($,p)2 ($,p)3, то
($,p)1 ($,p)3; для и ~ аналогично

Математические методы планирования риска
(с) Н.М. Светлов, 2007
/21
1.1.
Для рискового выбора существует безрисковый эквивалент:
Пусть $1>$2>$3. Тогда существует такая вероятность p, что (($1,$3),(p,1–p)) ~ $2
Если два выбора равноценны, то любой выбор между этими двумя выборами равноценен каждому из них:
Пусть ($1,p1) ~ ($2,p2). Тогда для любой p0 имеет место
((($1,p1),($2,p2)),(p0,1–p0)) ~ ($1,p1)
Если два выбора приносят одинаковые прибыли при вероятных исходах, предпочтительнее тот, в котором исход с большей прибылью вероятнее:
Для любых A = (($1,$2),(p1,1–p1)) и
B = (($1,$2), (p2,1–p2)), где $1>$2, предпочтение
A B имеет место только тогда, когда p1>p2.

Математические методы планирования риска
(с) Н.М. Светлов, 2007
/21
1.1.
Существует правило задания выбора, равноценного любому выбору между выборами:
Пусть даны A1 = ($1,p1), A2 = ($2,p2), …,
An = ($n,pn) и A0 = ((A1… An), (p01 … p0n)). Положим, что
B = (($1|$2|…|$n), (p01p1|p02p2|…|p0npn)).
Тогда A0 ~ B.

Математические методы планирования риска
(с) Н.М. Светлов, 2007
/21
1.1.
Аксиомам Неймана-Моргенштерна отвечает правило принятия решения следующего вида:
($1,p1) ($2,p2), если f ($1)p1 > f ($2)p2,
где f ($) – функция отношения индивида к риску (функция полезности).
В экономических приложениях f ($) возрастающая и выпуклая:
возрастание обозначает, что большая прибыль предпочтительнее малой;
выпуклость обозначает, что меньший риск предпочтительнее большего риска

Математические методы планирования риска
(с) Н.М. Светлов, 2007
/21
1.1.
Функция u (.) выпукла, если из α О (0,1) следует
u (αxў + (1−α)xўў) ≥ αu (xў) + (1−α) u (xўў).

Математические методы планирования риска
(с) Н.М. Светлов, 2007
/21
1.1.

Математические методы планирования риска
(с) Н.М. Светлов, 2007
/21
1.1.

Математические методы планирования риска
(с) Н.М. Светлов, 2007
/21
1.1.
Пусть f ($) = –(1/k)$+1,
т.е. неприятие риска не зависит от $.
Тогда ЛПР, неприятие риска которого выше, чем 0.00047, выберет вариант A
ЛПР с неприятием риска ниже этой величины выберет вариант C
Вариант B не выберет ни один субъект с возрастающей выпуклой функцией полезности
(желающие могут попробовать это доказать, основываясь на аксиомах Неймана-Моргенштерна)

Математические методы планирования риска
(с) Н.М. Светлов, 2007
/21
1.2. Оптимальное планирование в условиях риска
Найти оптимальный план производства пушек и масла, основываясь на данных, приведённых в таблице. Неприятие риска не зависит от прибыли.
Решение: max(0.95f ($1)+.05f ($2) | $1=-2x1+2x2; $2=10x1+1x2;
20x1+5x2 ≤ 10000), где f ($) = –(1/e r )$+1 (решение следует получить при всех r, т.к. о них в условии не сказано).
Ответ: при любом неприятии риска (т.е. r ) пушки производить не следует, масло выпускается в количестве 2000 ед.

Математические методы планирования риска
(с) Н.М. Светлов, 2007
/21
1.2.
Решение: max(0.05f ($1)+.95f ($2) | $1=-2x1+2x2; $2=10x1+1x2; 20x1+5x2 ≤ 10000), где f ($) = –(1/e r )$+1 (решение следует получить при всех r, т.к. о них в условии не сказано).
Ответ при r = 0,01: пушек 0 ед., масла 2000 ед.
Ответ при r = 0,003: пушек 175,7 ед., масла 1297,2 ед.
Ответ при r = 0,001: пушек 277,1 ед., масла 891,6 ед.
Ответ при r = 0,0006: пушек 378,5 ед., масла 486,0 ед.
Ответ при r = 0,00042: пушек 487,1 ед., масла 51,4 ед.
Ответ при r = 0,0004: пушек 500 ед., масла 0 ед.
Ответ при r = 0,0001: пушек 500 ед., масла 0 ед.

Математические методы планирования риска
(с) Н.М. Светлов, 2007
/21
1.3. Подготовка исходных данных о риске
Вероятность исходов
Статистика
В скольких процентах случаев при реализации коммерческих проектов цены на продукцию оказывались ниже ожидаемых на 20 и более процентов
Теоретические модели исследуемого процесса
Вероятность того, что запросы на поставку прокатных станов поступят одновременно от 3 и более компаний, так что некоторым из них придётся отказать, подчиняется распределению Пуассона
Опрос экспертов
Если другие способы не работают
Функция полезности
Неприятие риска

Математические методы планирования риска
(с) Н.М. Светлов, 2007
/21
1.3. Подготовка исходных данных о риске
Вероятность исходов
Функция полезности
Форму функции полезности почти никогда не удаётся определить эмпирически
Поэтому обычно используют функцию с постоянным абсолютным или относительным неприятием риска
Таким способом можно моделировать выбор только
в окрестности фактического состояния моделируемой системы
Неприятие риска

Математические методы планирования риска
(с) Н.М. Светлов, 2007
/21
1.3. Подготовка исходных данных о риске
Вероятность исходов
Функция полезности
Неприятие риска
Анкетирование ЛПР
В анкете представлены пары ситуаций вида (($1,$2),(p1,p2)), из которых ЛПР выбирает те, которые ему представляются более привлекательными
На основе данных анкетирования подбираются параметры функции полезности
метод наименьших квадратов (OLS)
Исключение убытка
функция полезности не требуется
не всегда возможно

Математические методы планирования риска
(с) Н.М. Светлов, 2007
/21
1.4. Моделирование многоэтапного процесса принятия решений
Туроператор располагает 200 тыс.у.е. инвестиционных ресурсов, которые может вложить в развитие инфраструктуры горнолыжного курорта в Альпах или гостиницы на Гавайях.
Потоки туристов зависят от погоды в Альпах: если снег опять не выпадет до января (вероятность 50%), на отдых в Альпах будет 1 тыс. заявок, иначе – 3 тыс.; на Гавайях, соответственно, - 2,5 тыс. и 1,5 тыс.
Имеется 2 тыс. мест в Альпах и 1 тыс. мест на Гавайях. Создание одного места в Альпах требует 90 у.е., на Гавайях – 110 у.е. Приведённый доход от 1 клиента в расчёте на один год в Альпах – 45 у.е. при горнолыжной погоде и 30 у.е. при обычной, на Гавайях – 40 у.е.
Если места в Альпах кончились, клиент соглашается на отдых на Гавайях при снижении дохода вдвое против «альпийского», и наоборот.
Горизонт планирования – 3 года.
Найти:
план распределения инвестиционных ресурсов;
план расселения клиентов по курортам в зависимости от погоды,
максимизирующий приведённый доход туроператора за вычетом инвестиций.

Математические методы планирования риска
(с) Н.М. Светлов, 2007
/21
1.4.
Решаем задачу.
Переменные:
Априорное решение (когда погода неизвестна):
инвестиции в гостиничные места на Альпах (у.е.) – x01
инвестиции в гостиничные места на Гавайях (у.е.) – x02
Апостериорные решения (для «нелыжной» и «лыжной» погоды)
клиенты, подавшие заявки на Альпы, чел.:
попавшие в Альпы – x11 и x21
переведённые на Гавайи – x12 и x22
клиенты, подавшие заявки на Гавайи, чел.:
попавшие на Гавайи – x13 и x23
переведённые в Альпы – x14 и x24
Ограничения:
Общий объём инвестиций, у.е.: x01 + x02 ≤ 200 000
«Нелыжная» погода:
мест на Альпах должно хватить всем (чел.): x11 + x14 ≤ 2000 + x01 / 90
мест на Гавайях должно хватить всем (чел.): x12 + x13 ≤ 1000 + x02 / 110
всех подавших заявки на Альпы необходимо обслужить (чел.):
x11 + x12 = 1000
всех подавших заявки на Гавайи необходимо обслужить (чел.):
x13 + x14 = 2500
«Лыжная» погода:
составляется аналогично, только цифры другие и переменные апостериорного решения относятся к другому исходу.

Математические методы планирования риска
(с) Н.М. Светлов, 2007
/21
1.4.
Решаем задачу (cont.)
Целевая функция:
максимум математического ожидания дохода, у.е.:
3·( 0,5·(30x11 + (30/2)x12 + 40x13 + (40/2)x14) +
+0,5·(45x21 + (45/2)x22 + 40x23 + (40/2)x24) ) –
– (x01 + x02)
NB: здесь принято нулевое неприятие риска; в противном случае:
0,5· f (3·(30x11 + (30/2)x12 + 40x13 + (40/2)x14) – (x01 + x02)) +
+0,5·f (3·(45x21 + (45/2)x22 + 40x23 + (40/2)x24) – (x01 + x02))
f (·) – функция полезности
Задача в этом случае становится нелинейной.