Натуральное число как мера величины

Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
Величины одного рода или однородные величины - это величины, которые выражают одно и тоже свойство объектов.
Пример: длина стола, длина комнаты- это величины одного рода.

Основные положения:
1) Любые две величины сравнимы: они либо равны, либо одна меньше другой. Имеют место отношения "равно","меньше" и "больше",и для любых величин А и В справедливо одно и только одно из отношений: А
B.
Пример: масса яблока меньше массы арбуза.
2) Отношение "меньше" для однородных величин транзитивно: если A
Пример: если масса яблока М1 меньше массы яблока М2,и масса яблока М2 меньше массы яблока М3,то масса яблока М1 меньше массы яблока М3.
3) Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получается величина того же рода: С=А+В, С-сумма величин А и В.
Сложение величин коммутативно и ассоциативно.
Пример: если А-масса арбуза, В-масса яблока, то С=А+В- это масса арбуза и яблока.

4) Величины одного рода можно вычитать, получая в результате величину того же рода. Определяют вычитание через сложение.
Разностью величин А и В называется такая величина С=А-В, что А=В+С. Разность величин А и В существует, если А>В.
Пример: если А-длина отрезка a, В-длина отрезка b, то С=А-В- это длина отрезка c.
а
c
b

5) Величину можно умножать на положительное действительное число, в результате получают величину того же рода. Для любой величины А и любого положительного числа х существует единственная величина В= х х А, В- произведение величины А на число х.
Пример: если А-масса одного яблока, то умножив А на число х=3,получим величину В=3 х А - массу трех яблок.

6) Величины одного рода можно делить, получая в результате число. Определяют деление через умножение величины на число.
Частным величин А и В называется такое положительное действительное число х = А:В, что А = х х В.
Пример: если А-длина отрезка а, В-длина отрезка b и отрезок А состоит из 4-х отрезков равных b, то А:В=4,т.к А = 4 х В.
a
b

Величины, как свойства объектов, обладают еще одной особенностью- их можно оценивать количественно.
Выбирают величину, которую называют единицей измерения-Е.
Если задана величина А и выбрана единица величины Е, то измерить величину А-это значит найти такое положительное действительное число х, что А= х х Е.
Число х- численное значение величины А при единице величины Е. Оно показывает, во сколько раз величина А больше(меньше) величины Е, принятой за единицу измерения.

Если А = х х Е, то число х называют мерой величины А при единице Е и пишут х= mE(А)
Пример: А-длина отрезка а, Е-длина отрезка b, то А=4 х Е.число 4-это мера длины А при единице длины Е.
a
b

Величина, которая определяется одним численным значением, называется скалярной величиной.
Положительная скалярная величина - скалярная величина, которая при выбранной единице измерения принимает только положительные численные значения.
Пример: площадь, объем, масса, время, стоимость и количество товара и др.
Если величины выражают разные свойства объекта, то их называют величинами разного рода или разнородными величинами.
Пример: длина и масса-это разнородные величины.

Упражнения
В ТЕОРИЮ

Персики дороже яблок.
Шкаф тяжелее стула.
Катя выше Гали.
Проверить себя
Далее
1. О каких величинах идет речь в следующих предложениях:

Положительная скалярная величина.
а) Персики дороже яблок- стоимость.
б) Шкаф тяжелее стула- масса.
в) Катя выше Гали- длина.
Ответ:

2. Какие величины можно сравнить между собой:
а) 1200 м;
б) 20 штук
в) 320 кг
г) 12 мин
1) 2 ц
2) 2км 400м
3) 20 пар
4) 1 час
Далее
Проверить себя

Ответ:
а) 1200 м;
б) 20 штук
в) 320 кг
г) 12 мин
1) 2 км 400 м
2) 20 пар
3) 2 ц
4) 1 час
Ответ:

3. Назовите объект, его величину, численное значение и единицу измерения величины:
а)В сумке 5 кг апельсинов.
б)Глубина бассейна 2 м.
в)Площадь участка 8 соток.
г)Рост мальчика 1м 70 см.
а) В сумке 5 кг. апельсинов.
б) Глубина бассейна 2 м.
в) Площадь участка 8 соток.
г) Рост мальчика 1м 70 см.
Проверить себя
Далее

а) объект- апельсины, величина -масса, число 5-численное значение, единица измерения- килограмм;
б) объект -глубина бассейна, величина-длина, число 2- численное значение, единица измерения- метр;
в) объект -участок, величина - площадь, число 8-численное значение, единица измерения- сотка;
г) объект -рост мальчика, величина - длина, число 1м 70 см -численное значение, единица измерения м и см.
Ответ:

Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины.
Смысл суммы и разности
Понятие: "отрезок состоит из отрезков".
Определение. Считают, что отрезок х состоит из отрезков х1,х2,…хп , если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек, хотя и могут иметь общие концы: отрезок х разбит на отрезки х1,х2,…хп и пишут х= х1+х2+…+хп
Пусть задан отрезок х, его длина обозначим Х, е - единичный отрезок, Е-длина отрезка.

Определение. Если отрезок х состоит из отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число а называют численным значением длины Х данного отрезка при единице длины Е.
Пример: х- отрезок, состоит из 6 отрезков, равных отрезку е- единичный отрезок; Е-длина единичного отрезка; Х-длина отрезка х, то Х=6Е или 6=mЕ(Х).
а
е
е1

Из определения получаем, что НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО как результат измерения длины отрезка (или мера длины отрезка),показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина которого измеряется.
Замечания:
1. При переходе к другой единице длины численное значение длины отрезка изменяется, хотя сам отрезок остается неизменным.
Пример: если в качестве единицы длины выбрать е1,то мера длины отрезка х=3. Записывается: Х=3 х Е1 или mE1(Х)=3.
2. Если отрезок х состоит из а отрезков, равных е, а отрезок e состоит из b отрезков, равных е, то а=b, тогда и только тогда, когда отрезки х=у.
Пример: В записи 3 см2 число 3 означает, что фигура F состоит из трех единичных квадратов с площадью равной квадратному сантиметру.

Смысл суммы натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.
Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков у и z выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка х равна сумме мер длин его частей.
Сумму натуральных чисел а и b
можно рассматривать как меру длины
отрезка х, состоящего из отрезков у и z,
мерами длин которых являются числа а и b.
а+b=mE(Y)+ mE(Z) = mE (Y+Z)=mE(Х)

Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длина отрезков х и у выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка z равна разности мер длин отрезков х и у.
Разность натуральных чисел а и b
можно рассматривать как меру длины
такого отрезка z=x-y, что z+y=x,
если мера длины отрезка х равна а,
мера отрезка у равна b.
а-b=mE(Х) - mE(Y)= mE(X-Y)= mE(Z)
Смысл разности натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.

В ТЕОРИЮ
Упражнения

1. Какой смысл имеет натуральное число 5, если оно получается в результате:
а) Длины отрезка;
б) Площади фигуры;
в) Массы тела?
Проверить себя
Далее

а) мера длины отрезка;
б) фигура состоит из 5 единичных квадратов;
в) численное значение массы.
Ответ:

2. Объясните, почему следующая задача решается при помощи сложения:
Когда со стола взяли 3 книги, то на нем осталась 1 книга.
Сколько книг лежало на столе первоначально?
Проверить себя
Далее

В задаче идет речь о количестве книг. Известно их численное значение. Требуется найти численное значение количества книг, которое получится, если данные книги сложить.
Получаем выражение 3+1.Это математическая модель данной задачи. Вычислив значение выражения 3+1,получим ответ на вопрос задачи.
Ответ:

3. Объясните, почему следующая задача решается при помощи вычитания:
С двух участков собрали 8 пучков укропа. Сколько пучков укропа собрали с первого участка, если со второго участка собрали 5 пучков?
Проверить себя
Далее

В задаче рассматривается количество пучков укропа, известно их численное значение. Это количество складывается из количества пучков укропа, собранных с первого и второго участков, численное значение которого также известно. Требуется узнать численное значение пучков укропа, собранных с первого участка.
Так как количество пучков укропа собранных с первого участка можно получить, вычитая из общего количества пучков укропа, собранных с двух участков количество собранных пучков со второго участка, то численное значение пучков укропа, собранных с первого участка находят действием вычитания:
8-5.
Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи.
Ответ:

4. Обоснуйте выбор действия при решении задачи:
Купили 3 кг яблок, а апельсинов на 2 кг больше. Сколько килограммов апельсинов купили?
Проверить себя
Далее

В задаче идет речь о двух величинах- массе яблок и массе апельсинов. Численное значение первой массы известно, а численное значение второй массы надо найти, зная, что апельсинов на 2 кг больше, чем яблок.
Видно, что апельсинов купили столько же, сколько яблок, и еще 2 кг, т.е масса апельсинов складывается из двух масс яблок(3кг и 2кг), и чтобы найти ее численное значение, надо сложить численные значения масс-слагаемых. Получаем выражение 3+2, значение которого и будет ответом на вопрос задачи.
Модель задачи:
3 кг
?
2кг
Ответ:

Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин
Умножение и деление натуральных чисел- мер величин связано с переходом от одной единицы величины к другой в процессе измерения одной и той же величины.

Теорема. Если отрезок х состоит из а отрезков, длина которых равна Е, а отрезок длины Е состоит из b отрезков, длина которых равна Е1, то мера длины отрезка х при единице длины Е2 равна а х b.
Если натуральное число а- мера длины отрезка х
при единице длины Е,
натуральное число b-мера длины Е
при единице длины Е1,
то произведение а х b-это мера длины отрезка х
при единице длины Е1.
а х b=тЕ(Х) х mE1(E)=mE1(X)
Смысл произведения натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.

Теорема. Если отрезок х состоит из а отрезков, длина которых равна Е, отрезок длины Е1 состоит из b отрезков длины Е, то мера длины отрезка х при единице длины Е1 равна а:b.
Если натуральное число а- мера длины отрезка х при единице длины Е, натуральное число b-мера новой единицы длины Е1 при единице длины Е, то частное а:b- это мера длины отрезка х при единице длины Е1.
а:b= тЕ(Х):mE(E1)=mE1(X)
Смысл частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.

Задачи.
1.Объяснить смысл произведения 3х4, если 4 и 3-числа полученные в результате измерения величин.
Решение. Пусть 4=mE(X),3=mE1(E), где Х - измеряемая величина,
Е - первоначальная единица величины, а Е1-новая единица величины. Тогда согласно теореме, 4х3=mE1(X), т.е 4х3 -это численное значение длины Х при единице длины Е1.
Х
Е
Е1

2. Обосновать выбор действия при решении задачи.
В одной коробке 6 ручек. Сколько ручек в трех таких коробках?
Решение. В задаче идет речь о количестве ручек, которое сначала измерено коробками и известно численное значение этой величины при указанной единице. Требуется найти численное значение этой же величины при новой единице - ручка, причем известно, что коробка – это 6 ручек.
Тогда 3кор.=3 х кор.=3 х (6 руч.)=3 х (6 х руч.)=(3 х 6)руч.
Таким образом, задача решается при помощи действия умножения, поскольку в ней при измерении осуществляется переход от одной единицы величины (коробка) к другой - ручка.

3. Обосновать выбор действия при решении задачи.
Из 12 м ткани сшили платья, расходуя на каждое по 4 м. Сколько платьев сшили?
Решение: В задаче рассматривается длина ткани, которая измерена сначала при помощи единицы длины метр, и известно численное значение заданной величины. Требуется найти численное значение той же длины при условии, что она измеряется новой единицей –платьем, причем известно, что платье-это 4м,откуда метр-это 1/4 платья:
12м=12 х м=12 х (1/4 пл.)=(12 х 1/4)пл.=(12:4)пл.=3пл.

4. Обосновать выбор действия при решении задачи.
Купили 3 кг моркови, а картофеля в 2 раза больше. Сколько килограммов картофеля купили?
Решение: В задаче рассматривается масса моркови и масса картофеля, причем численное значение первой массы известно, а численное значение второй надо найти, зная, что она в 2 раза больше первой. Масса картофеля складывается из двух масс по 3кг,численное значение массы картофеля можно найти, умножив 3 на 2. Найдя значение выражения 3х2,получим ответ на вопрос задачи.
3 кг
?
М.
К.

Упражнения
В ТЕОРИЮ

Обоснуйте выбор действия при решении задач:
1) 6 кг муки надо разложить в пакеты, по 2 кг в каждый. Сколько получится пакетов?
2) Купили 3 пакета муки, по 2 кг в каждом. Сколько килограммов муки купили?
3) 6 кг муки разложили на пакеты по 2 кг в каждый. Сколько получилось пакетов?
Ответ на
задачу №1
Ответ на
задачу №2
Ответ на
задачу №3
ЗАКОНЧИТЬ

Ответ №1
В задаче рассматривается масса муки, которая сначала измерена единицы массы – килограмм, и известно численное значение этой массы при указанной единицы массы.
Требуется найти результат измерения этой же массы, но уже при помощи другой единицы- пакета, причем известно, что 1 пакет-это 2 кг.
Рассуждения, связанные с поиском численного значения массы муки при новой единице- пакет, можно представить в таком виде:
6кг=6 х кг=6 х (1/2 пак.)=(6 х 1/2)пак.=(6:2)пак.
Вернуться к задачам

Ответ №2
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо массу 2 кг повторить слагаемым три раза, т.е. массу 2 кг умножить на число 3.
Численное значение полученной при этом величины находим, умножив численное значение массы муки в одном пакете на число 3.
Произведение 3 х 2 будет математической моделью данной задачи.
Вычислив его значение, будем иметь ответ на вопрос задачи.
Вернуться к задачам