Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

(x²)′=
(2x³)′=
(7x)′=
(10)′=
(128 )′=
(5x² + 3x - 9 )′=
x²
2x
6x²
0
0
7
10x + 3

АЛГОРИТМ
Найти точки экстремума функции, т. е. точки в которых производная равна нулю и меняет свой знак.
Вычислить значение функции в этих точках и на концах отрезка, где определена функция.
Выбрать из полученных значений оптимальное.
Перевести задачу на язык математики, т. е. выразить искомую величину через функцию от некоторой переменной и найти область её определения.

Выполните задание:
Найти промежутки возрастания и убывания функции.
Найти экстремумы функции.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-1;2]
Y = N · x² - 2·N · x + 8

Легенда об основании Карфагена гласит, что когда финикийский корабль пристал к берегу, местные жители согласились продать прибывшим столько земли, сколько можно огородить её одной бычьей шкурой. Но хитрая царица Дидона разрезала эту шкуру на ремешки, связала их и огородила полученным ремнём большой участок земли, примыкавший к побережью.
Вопрос: какую наибольшую площадь земли могли купить финикийцы?

A
B
C
D
AC+CD+DB=L
x
x
L - 2x
Переведём задачу на язык математики.
S = x(L-2x)

Y = x(L-2x) → max
Y′ = L – 4x
0,25L
+
—
max
Данный прямоугольник является половиной квадрата, длинной стороной примыкающей к берегу моря.
2. Y′ = 0 ; L = 4x
x = 0,25L
3.
4. AC = 0,25L ;DC = 0,5L
Y = Lx – 2x²

Стоимость (за один час перевозки) содержания баржи состоит из двух частей: стоимости топлива, пропорциональной кубу скорости баржи, и стоимости амортизации баржи ( зарплата команды, стоимость оборудования и т. д.). Общая стоимость содержания баржи за час выражается формулой: S = av³ + b, где v- скорость судна в км/ч, a и b – коэффициенты, заданные для каждого судна (для нашего а=0,005, b=40).
Ясно, что расходы на топливо будут тем больше, чем быстрее движется корабль, остальные расходы от скорости не зависят.
Казалось бы, чем медленнее движется корабль, тем дешевле его эксплуатация. Так ли это?

S/v = 0,005v² + 40/v → min
Y′ = 0,005·2v – 40/v²
—
16
+
min
Оптимальная скорость катера для минимальных затрат равна 16 км/ч
2.Y′ = 0 ; 0,01v – 40/v² = 0
0,01v = 40/v²
0,01v³ = 40
v³ = 4000
v ≈ 16 км/ч
3.

Печатный текст (вместе с промежутками между строками) одной страницы книги должен занимать 400 см². Верхние и нижние поля страницы должны иметь ширину 2 см. Боковые – 4 см.
Вопрос: каковы самые выгодные размеры страницы, исходя только из экономии бумаги?

A
B
C
D
K
L
M
N
4
4
2
2
S = 400 см²
х
400/х
AB = x
BC = 400/x
KL = 400/x + 8
KN = x + 4
S = (x + 4)·(400/x + 8) =
= 1600/x + 8x + 432

S = 1600/x + 8x + 432 → min
1. S′ = -1600/x² + 8
2. S′ = 0; -1600/x² + 8 = 0
1600/x² = 8
x² = 1600/8
x ≈ 14
3.
—
+
min
14
Оптимальные размеры страницы
18х36,5 см.
4. KN = х + 4=18
KL = 400/x + 8≈36,5

Вывод:
Производная функции успешно применяется при решении оптимальных задач в различных сферах деятельности человека.
Д/з решить задачу: Рекламный щит имеет форму прямоугольника S = 9 м². Изготовьте щит в виде прямоугольника с наименьшим периметром. Определите его стоимость, если суммарная цена материалов и работ по изготовлению за 1 м² составляет 200 грн + 25 грн за погонный метр длины щита.