Определение оптимального плана замены оборудования

Введение
Во всем мире существует множество предприятий, которые используют для производства своей продукции машинное оборудование. Поэтому при его внедрении нужно составлять оптимальный план использования и замены оборудования. Задачи по замене оборудования рассматриваются как многоэтаповый процесс, который характерен для динамического программирования.
Многие предприятия сохраняют или заменяют оборудование по своей интуиции, не применяя методы динамического программирования. Применять эти методы целесообразно, так как это позволяет наиболее четко максимизировать прибыль или минимизировать затраты.

Цели и задачи о замене оборудования
Задача о замене оборудования состоит в определении оптимальных сроков замены старого оборудования. Старение оборудования включает его физический и моральный износ. В результате чего увеличиваются производственные затраты, растут затраты на обслуживание и ремонт, снижается производительность труда и ликвидная стоимость. Критерием оптимальности является либо прибыль от эксплуатации оборудования, либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода.

Постановка задачи
К началу планируемого периода на предприятии установлено новое оборудование, позволяющее за каждый год восьмилетнего периода выпустить готовой продукции на сумму соответственно 25,24,24,23,23,23,22,21,20,20,20,20 тыс.д.ед. Зависимость затрат на содержание и ремонт оборудования в планируемом периоде, видна из таблицы

Данные задачи замены оборудования

Решение
Для определения условных оптимальных решений сначала необходимо составить функциональное уравнение Беллмана. Так как было предположено, что к началу k-го года (k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) может приниматься только одно из двух решений – заменять или не заменять оборудование, то прибыль предприятия за k-ый год составит:
Z*k = max r(t)-s(t)+Zk+1(t+1) ; Xc
r(0)-s(0)-P0+Zk+1(1) ; Xз (3.1)
где t –возраст оборудования к началу k-го года (k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10); r(t)- годовой выпуск продукции в ден.ед; s(t)-затраты в ден.ед.; P0 –стоимость нового оборудования. Xc решение о сохранении оборудования, а через Xз –решение о замене оборудования
Используя теперь уравнение (3.1) , находим решение исходной задачи.

Оптимальные планы замены оборудования
Согласно условию к началу периода установлено новое оборудование (t=0). Поэтому проблема выбора между сохранением и заменой оборудования не существует: оборудование следует сохранить. Значит, условно оптимальным решением является Xc, а значение функции: Z*1(1)=9,93+60,02 =69,95.
Таким образом, максимальная прибыль предприятия может быть равной 69,95 тыс.д.ед. Она соответствует оптимальным планам замены оборудования.