П И Ф А Г О Р

История открытия теоремы
Обычно открытие теоремы Пифагора приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору (VI в. до н. э.). Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древнекитайских рукописей (копий еще более древних манускриптов) показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора, возможно, за тысячелетия до него. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около XVIII века до н. э., также о ней было известно и в древнеиндийском геометрическо - теологическом трактатеVII-V вв. до н. э. «Сульва сутра» («Правила верёвки»).
Но несмотря на все эти доказательства, имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невозможно представить, что это словосочетание распадётся.

Способы доказательства
теоремы Пифагора
Да, путь познания не гладок.
Но знайте вы со школьных лет:
Загадок больше, чем разгадок
И поискам предела нет!

А
В
С
А
В
С
Простейшее доказательство
Достаточно взглянуть на мозаику из цветных треугольников и квадратов, чтобы убедиться в справедливости теоремы для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника, а на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника.

С2
b2
a2
а
а
а
а
а
а
а
а
b
b
b
b
b
b
b
b
c
c
c
c
c
c
Равновеликость фигур
На рисунке изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна а+b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами а, b., то остаются равные площади, т.е. с2 = а2 + b2.

1
2
A
B
C
D
E
F
P
N
M
Q
На рисунке изображена обычная Пифагорова фигура прямоугольный треугольник АВС с построенными на его сторонах квадратами. К этой фигуре присоединены треугольники 1 и 2, равные исходному прямоугольному треугольнику.
Справедливость теоремы Пифагора вытекает из равновеликости шестиугольников AEDFPB и ACBNMQ. Здесь прямая ЕР делит шестиугольник AEDFPB на два равновеликих четырехугольника, прямая СМ делит шестиугольник ACBNMQ на два равных четырехугольника; поворот плоскости на 900 вокруг центра А отображает четырехугольник AEPB на четырехугольник ACMQ.
Это доказательство впервые дал Леонардо да Винчи.

А
В
С
D
F
E
a
b
c
Оригинальное доказательство, предложенное Гофманом. Здесь треугольник АВС с прямым углом С; отрезок BF перпендикулярен СВ и равен ему, отрезок ВЕ перпендикулярен АВ и равен ему; отрезок АD перпендикулярен АС и равен ему; точки F, С, D принадлежат одной прямой; четырехугольники АDFВ и АСВЕ равновелики, так как АВF = ЕСВ; треугольники АDF и АСЕ равновелики; отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для ник треугольник АВС, получим 1/2а2 + 1/2b2 = 1/2с2

с
с
с
с
½ab
½ab
½ab
½ab
(b-a)2
A
B
C
b
a
Этот рисунок иллюстрирует доказательство великого индийского математика Бхаскари. Рисунок сопровождало лишь одно слово СМОТРИ!
с2 = 4(½аb) + (b-a)2. После раскрытия скобок и мы получим знаменитую формулу Пифагора.

А
С
В
h
M
b1
a1
a
b
Приведем в современном изложении одно из доказательств, принадлежащих Пифагору.
На рисунке треугольник АВС – прямоугольный, С – прямой угол, (СМ ┴ АВ) b1 - проекция катета b на гипотенузу, a1 – проекция катета на гипотенузу, h – высота треугольника, проведенная к гипотенузе.
Из того что треугольник ∆АВС подобен ∆АСМ, следует b2 = сb1; из того что ∆АВС подобен ∆ВСМ следует а2 = са1. Складывая почленно равенства, получим а2 + b2 = сb1 + са1 = с(b1 + а1) = с2.
Если Пифагор действительно предложил такое доказательство, то он был знаком и с целым рядом важных геометрических теорем, которые современные историки математики обычно приписывают Евклиду.

А
В
С
а
с
b
Доказательство Мёльманна
Площадь данного прямоугольного треугольника, с одной стороны, равна 0,5аb, с другой 0,5рr, где р – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности (r = 0,5( а + b – с)). Имеем: 0,5аb = 0,5рr, и 0,5аb = 0,5( а + b + с) × 0,5( а + b – с), отсюда с2 = а2 + b2.

а
а
с
с
b
b
Доказательство Гарфилда
На рисунке три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумма площадей трех треугольников. В первом случае эта площадь равна 0,5(а+b) × (а+b), во втором - 0,5аb + 0,5аb + 0,5с2. Тогда: 0,5(а+b) × (а+b) = 0,5аb + 0,5аb + 0,5с2, и получим с2 = а2 + b2.

с2
а
b
а2
b2
На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами а и b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной а + b, а внутренний - квадрат со стороной с, построенной на гипотенузе.
Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 синих треугольника уложить в два прямоугольника, то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны равна с2, а с другой а2 + b2, т.е. с2 = а2 + b2. Теорема доказана.
b

Чертёж воспроизведен из трактата «Чжоу –би…». Здесь теорема Пифагора рассмотрена для египетского треугольника с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 единиц измерения. Квадрат на гипотенузе содержит 25 клеток, а вписанный в него квадрат на большом катете – 16. Ясно что оставшаяся часть содержит 9 клеток. Это и будет квадрат на меньшем катете.

с
с
с
с
с
с
b
b
а - b
b2
Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. В трактате древнейшего индийского математика 12 века Бхаскары, помещен чертеж с характерным для индийских доказательств словом: «Смотри!». Как видим, прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат с2 перекладывается в «кресло невесты» а2 + b2.