Параболические многоугольники

Теорема 1. Параболический четырёхугольник описан вокруг окружности тогда и только тогда, когда его диагонали перпендикулярны.

Теорема 2. Две параболы пересекаются в двух точках А и В. Окружность, вписанная в обе параболы, существует тогда и только тогда, когда оси парабол образуют равные углы с прямой АВ.

Теорема 3. Параболический четырёхугольник является вписанным (то есть его вершины лежат на одной окружности) тогда и только тогда, когда оси образующих его парабол перпендикулярны.

Теорема 4. Любой параболический четырёхугольник можно перевести аффинным преобразованием во вписанный в окружность и описанный вокруг окружности параболический четырёхугольник.
Аффинным называют преобразование плоскости, которое представимо в виде композиции нескольких параллельных проекций. Аффинное преобразование переводит каждую прямую в прямую, а параллельные прямые — в параллельные.

Теорема 5. Если на параболе лежат четыре точки A, B, C и D, то осевая прямая, связанная с ВС и АD, параллельна оси параболы.
BE : EC = AF : FD

Теорема 6. Диагонали описанного параболического шестиугольника пересекаются в одной точке.

Теорема 7. Если внутри окружности взята точка и через эту точку проведены хорды, делящие плоскость на 2n равных углов, а через концы каждой хорды проведены параболы, касающиеся (чёрной на рисунке) окружности в 2n точках, то вершины параболического 2n-угольника, образованного этими параболами, лежат на (красной) окружности.

Теорема 8. Если в два параболоида вписана сфера, то точки пересечения параболоидов лежат в двух перпендикулярных плоскостях.

Основная лемма. Расстояние от любой точки параболы до прямой, проходящей через точки касания вписанной окружности, равно длине касательной, проведённой из этой точки к параболе.