Переход Андерсона:теория и численный экспериментИ.М.СусловИнститут физических проблем им. П.Л.Капицы РАН

Переход Андерсона

Современная ситуация:
Численный счет противоречит всей прочей
информации о критическом поведении
Numerical analysis of the Anderson localization

Самосогласованная теория Вольхардта-Вольфле дает результат
который:
(а) выделяет значения dc1=2 и dc2=4 как верхнюю и нижнюю
критические размерности;
(б) согласуется с результатом для d=2+ε
(в) удовлетворяет скейлинговому соотношению s=ν(d-2) для d
(г) дает независящие от d индексы для d>dc2;
(д) согласуется с результатами s=1 и ν=1/2 для d=∞.
(е) согласуется с экспериментальными результатами
s≈1 и ν≈1 для d=3.

Гипотеза о том, что результаты теории Вольхардта-Вольфле
являются точными:
Вывод без грубых аппроксимаций:

Численные результаты описываются эмпирической формулой
Другие результаты
для d=3 :

Finite-size scaling
(дальний порядок)
(ближний порядок)
Скейлинговое соотношение

Теория Вольхардта-Вольфле
Основана на существовании
диффузионного полюса
в неприводимой
четыреххвостке
играющей роль вероятности перехода в квантовом кинетическом
уравнении.
Аппроксимация типа τ - приближения дает
уравнение самосогласования
= + +
= + +

Уравнение самосогласования
Базовый интеграл
конечен при m=0 только для d>2.
Металлическая фаза: D=const при ω→ 0
т.е. s=1.

Уравнение самосогласования
Диэлектрическая фаза: D = - iω ξ2 при ω→ 0 ( m=ξ-1 )

Квазиодномерные системы
Для описания квазиодномерных систем базовый интеграл
достаточно представить в виде ( ) :
Член с расходится при m → 0 .
Разбиение интеграла

Преобразование интегралов:
что надо подставить в уравнение самосогласования

Уравнение самосогласования
в пределе a→0 дает скейлинговые соотношения
Определение функции H(z):

Двумерный случай
Используя асимптотики
имеем в переменных y=ξ1D/L
и x=ξ/L

MacKinnon – Kramer, 1983
2D case

2D case
M.Schreiber, M.Ottomeier, 1992

Трехмерный случай
Используя асимптотики
имеем в переменных y=ξ1D/L и x=ξ/L
или для зависимостей от L

MacKinnon – Kramer, 1983
3D case

P.Markos, 2006
3D case

Построение скейлинговых кривых

Построение скейлинговых кривых

P.Markos, 2006
3D case

P.Markos, 2006
3D case

Почему численные эксперименты всегда дают ν > 1 ?
ν = 1.2 ± 0.3
ν = 1.50 ± 0.05

Ситуация в окрестности перехода
Стандартные представления:
На самом деле:
В общем случае:

В теории Вольхардта – Вольфле при d=3 :
(с точностью до членов, исчезающих при L → ∞ ).
Вместо стандартного
P.Markos, 2006

Fitting by cL0.63

Fitting by c(L+L0)

Скейлинг для высших размерностей
Меняется ситуация с интегралом
Теперь нельзя устремлять Λ → ∞, но зато есть сходимость на
нижнем пределе
так что вычисление возможно аналитически при произвольных
значениях mL .

d>4
Получается скейлинговое соотношение
в переменных

d=4
Получается скейлинговое соотношение
в переменных
Возникает «модифицированная
длина»

d = 4 - ε
Получается скейлинговое соотношение
в переменных
Возникает «модифицированная
длина»

Поведение в точке перехода
для «стандартного»
скейлингового параметра

Другие варианты конечно-размерного скейлинга
Квазиодномерные системы
Статистика уровней
Распределение кондактансов
Средний кондактанс
Параметр Таулеса («ускорение уровней»)
Inverse participation ratios

Статистика уровней
I.Kh.Zharekeshev, B.Kramer,
PRL, 79, 717 (1997)
Размеры до 1003
I.M.Suslov,
cond-mat/0105325

0.1
0.2
0.3
6 12 18 24 30

0.1
0.2
0.3
6 12 18 24 30
ν=1.40 ± 0.15

0.2
0.4
0.6
6 12 18 24 30 36 42 48