Перпендикулярность прямых и плоскостей (10 класс)

План
Перпендикулярные прямые в пространстве
Определение прямой перпендикулярной к плоскости
Параллельные прямые, перпендикулярные плоскости
Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Домашнее задание:
Учебник пункты 15 – 17
( п 16 без доказательств)
№ 117, № 128

повторение

Вспомни
Взаимное расположение прямых в пространстве
Определение параллельных прямых
Взаимное расположение прямой и плоскости
Признак // прямой и плоскости

Вспомни
Равнобедренный треугольник и его свойства
Серединный перпендикуляр.
Свойства точек серединного перпендикуляра
А
В

Перпендикулярные прямые
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90
о
а
в
а
в

Подумай
Каким может быть взаимное расположение перпендикулярных прямых?
Перпендикулярные прямые могут быть либо пересекающимися либо скрещивающимися.
Приведи примеры

Задача
А
В
С
D
D 1
С 1
А 1
Угол ВАD = 90
Докажите, что DC B1 C1
АВ А1D1

Л е м м а
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
ДАНО: а // в, а с
Доказать: в с

Доказательство
ДАНО: а // в, а с
Доказать: в с
Доказательство:
а
в
с
М
А
С
в//а , а // А М, поэтому в// М А
Итак в//М А , с // М С , угол А М С = 90 , значит угол между в и с = 90 , т.е. в с

Задача
А
В
С
D
D 1
С 1
А 1
Угол ВАD = 90
Докажите, что DC B1 C1
АВ А1D1

Прямые перпендикулярные к плоскости
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой лежащей в этой плоскости
а β
β

ПОДУМАЙ
Каким может быть взаимное расположение прямой и плоскости, если они перпендикулярны?
Приведи примеры из окружающей обстановки, иллюстрирующие перпендикулярность прямой и плоскости

Верно ли?
Если прямая а перпендикулярна плоскости β , то она перпендикулярна прямой АВ, лежащей в плоскости β

Задача
Точки А, М, О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости β , а точки О, В, С и Д лежат в плоскости β .
Сделай чертеж
Какие из следующих углов являются прямыми:
АОВ, МОС, ДАМ, ДОА, ВМО?

Связь между // прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
Теорема
Если одна из двух // прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости

Связь между // прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
Теорема
Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.
Сделай чертеж

Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Теорема
Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости
а

а
О
Р
q
m
ДАНО: а р, а q?
ДОКАЗАТЬ: а β
β
а
L

p
q
L
a
A
B
P
Q
L

p
q
L
a
A
B
P
Q
L
О

Задача
Прямая МВ перпендикулярна к сторонам АВ и ВС треугольника АВС.
Определите вид треугольника МВД, где Д – лежит на прямой АС
А
В
С
М
Д

Итак..
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если…
Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они …
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то …

Верно ли?
Если прямая а параллельна плоскости, а прямая в перпендикулярна к этой плоскости, то прямые а и в взаимно перпендикулярны?