Предел функции в точке

Функция f(x) определена в окрестности точки а (конечной или бесконечной), если а конечная точка, то в самой точке f(x) может быть и не определена.
Пояснение: если с приближением точки х к точке а соответствующие значения f(x) приближаются к точке А (конечной или бесконечной) таким образом, что для Х принадлежащих достаточно малой окрестности Rδ(а) значения f(x) принадлежат сколь угодно малой окрестности Rε(А), то f(x) стремится к пределу А при х стремящемся к а.

Определение: Число А называется пределом функции у= f(x) при х стремящимся к хо, если для любого, сколь угодно малого, наперед заданного, положительного числа ε, найдется такое положительное число δ, зависящее от ε (δ= δ (ε)>0), что из условия х ∈ Rδ(хо) (х≠ хо, если хо - число) следует, что f(x) ∈ Rε(А).
Обозначение:
lim f(x) = A или f(x) → А
х → хо х → хо

На языке неравенств
2. Односторонние пределы.

Если область определения функции – множество натуральных чисел N, то аргумент обычно обозначают n.
y=f(n), n∈N – функция натурального аргумента.
Интересует поведение f(n) при n→∞, т.е. n=1,2,3,…
3. Предел функции натурального аргумента. Предел последовательности

Теорема 1.
Теорема « о двух милиционерах»
Теорема 2.
Если функция f(x) ограничена и монотонна в некоторой окрестности точки а, то:
1) f(x) имеет в точке а оба конечных односторонних предела, если а – конечная точка.
2) существует конечный предел f(x), если а=∞
4. Признаки существования предела.

Определения:
1. Функция f(x) называется б.м. в точке а (или при х →а ), если lim f(x) = 0
х → а
2. Функция f(x) называется б.б. в точке а (или при х →а ), если lim f(x) = ∞
х → а
Точка а может быть как конечной, так и бесконечной точкой.
5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Теорема 1. (связь между б.м. и б.б. величинами).
1. Если f(x) б.м. в точке а, то - б.б. в точке а.
2. Если f(x) б.б. в точке а, то - б.м. в точке а.
Доказательство:
Пусть f(x) б.м. в точке а, т.е. lim f(x) = 0
х → а
Это означает, что ∀ε>0, ∃δ(ε)>0: ∀х∈ Rδ(а) =>
|f(x)-0|<ε, или |f(x)|<ε. Отсюда следует, что

Итак, ∀ε>0, ∃δ(ε)>0: ∀х∈ Rδ(а) =>
Отсюда следует, что lim =∞
х →а
Вторая часть теоремы доказывается аналогично.
f(x) б.б. в точке а, т.е. lim f(x) = ∞
х → а
Это означает, что ∀ε>0, ∃δ(ε)>0: ∀х∈ Rδ(а) =>
Таким образом, ∀ε>0, ∃δ(ε)>0: ∀х∈ Rδ(а) =>

Теорема 2.
Чтобы f(x) при х →а стремилась к конечному пределу А, необходимо и достаточно, чтобы функция ϕ(х)=f(x)-A была б.м. в точке а.
Доказательство .
Необходимость: Пусть lim f(x) = А
х → а
Тогда ∀ε>0, ∃δ(ε)>0: ∀х∈ Rδ(а) =>
|f(x)-А|<ε, или |ϕ(x)-0|<ε. Отсюда следует, что
lim ϕ(x) = 0, ϕ(х) – б.м. в точке а
х → а

Достаточность:
Пусть lim ϕ(x) = 0, ϕ(х)=f(x)-А – б.м. в точке а. х → а
Это означает, что ∀ε>0, ∃δ(ε)>0: ∀х∈ Rδ(а) =>
|ϕ(x)-0|<ε или |f(x)-А|<ε. Это значит, что
lim f(x) = А
х → а
Следствие: Для того, чтобы f(x) при х →а стремилась к конечному пределу А, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была равна сумме числа А и некоторой б.м. в точке а функции: f(x)= А+ ϕ(x)

6. Свойства б.м. функций.
Теорема 1.
Алгебраическая сумма конечного числа б.м. в точке а функций является функцией б.м. в этой точке.
Доказательство:
Пусть lim ϕ1(x) = 0 и lim ϕ2(x) = 0,
х → а х → а
Тогда для одного и того же ε>0
∃δ1(ε)>0: ∀х∈ Rδ1(а) => |ϕ1(x)|<ε/2
∃δ2(ε)>0: ∀х∈ Rδ2(а) => |ϕ2(x)|<ε/2

Выберем δ = min (δ1 , δ1 ). Тогда ∀х∈ Rδ(а) оба неравенства будут выполняться одновременно. Поэтому для тех же ∀х∈ Rδ(а) будет иметь место оценка:
|ϕ1(x)+ ϕ2(x)| ≤ |ϕ1(x)|+ |ϕ2(x)| <ε/2 +ε/2 = ε
Следовательно,
lim(ϕ1(x)+ ϕ2(x))=0, это и означает, что
х → а
ϕ1(x)+ ϕ2(x) – бесконечно малая в точке а.

Определение.
Функция f(x) называется ограниченной на множестве Х, если существуют такие два числа m и M, что ∀х∈Х: m≤ f(x) ≤M.
Пример: y=sinx.
∀х∈(-∞, +∞) -1 ≤ sinx ≤ 1. Функция ограничена на всей числовой оси.
Если f(x) ограничена на множестве Х, то ∃ р >0 , что ∀х∈Х: | f(x)|<р .
f(x)
-p m 0 M р
∀х∈ R: |sinx| ≤ 1
Замечание

Теорема 2.
Произведение функции f(x), ограниченной в некоторой окрестности точки а на функцию ϕ(x), б.м. в точке а, является функцией б.м. в точке а.
Доказательство:
1). По условию f(x) ограничена в окрестности точки а, т.е. ∃ р >0 , что ∀х∈ Rδ1(а) => |f(x)|
2). lim ϕ2(x) = 0, тогда
х → а
ε>0 ∃δ2 (ε)>0: ∀х∈ Rδ2 (а) => |ϕ(x)|<ε/р

Выберем δ = min (δ1 , δ1 ). Тогда ∀х∈ Rδ(а) одновременно
|ϕ(x)|<ε/р и |f(x)|
| f(x) ⋅ ϕ(x)| = |f(x)|⋅ |ϕ(x)|
Это и означает, что lim(f(x)⋅ ϕ(x))=0,
х → а
т.е. произведение ограниченной функции на б.м. есть функция бесконечно малая.
Следствие 1. Произведение постоянной величины С на функцию ϕ(x) – б.м. в точке а, является функцией б.м. в этой точке.

Замечание.
Постоянная функция f(x)= с =const ограничена на всем своем множестве определения.
Следствие 2.
Произведение двух функций, б.м. в точке а, является функцией б.м. в этой точке.
Замечание.
«1/0=∞, 1/∞=0» Запись допускается, но:
Равенства не выражают никакой количественной связи: на 0 делить нельзя, а бесконечность – не число.

7.Свойства функций, стремящихся к конечному пределу
Теорема 1. Если функция f(x) при х →а стремится к конечному пределу, то этот предел является единственным.
Доказательство (от противного):
Пусть f(x) при х →а имеет два предела А и В, при этом А≠В.
lim f(x) = A, lim f(x) = B,
х → а х → а

Значит (см. теорему 2, параграф 5)
f(x)= А+ α (x)
f(x)= В+ β (x),
где α (x) и β (x) – бесконечно малые в точке а.
Вычитаем почленно:
0=А-В+ α (x)- β (x), или В-А= α (x)- β (x).
В-А – число, не равное 0, α (x)- β (x) – б.м. в точке а. Равенство невозможно. Предположение о существовании второго предела – неверно.

Теорема 2. Если функция f(x) при х →а стремится к конечному пределу, то в некоторой окрестности точки а эта функция ограничена.
Доказательство:
lim f(x) = A, где А – число.
х → а
По определению предела: ∀ε>0, ∃δ(ε)>0:
∀х∈ Rδ(а) => |f(x)-А|<ε. Последнее неравенство эквивалентно двойному неравенству:
- ε < f(x)-А <ε, или А - ε < f(x) < А + ε.
Обозначим А - ε =m, А + ε=M

Тогда: m< f(x)
Замечание.
В двух последних теоремах точка а может быть как конечной, так и бесконечными точками.

Джон Непер (1550-1617) – шотландский математик. Изобрел логарифмы: дал определение, объяснение свойств, таблицы и приложения.
Рассмотрим f(n)=
Формула бинома Ньютона:
8. Неперово число

Положим а=1, в=1/n:
f(n)= =
=
Или f(n)=
(*)

Все скобки в правой части (*) положительны, и все члены в правой части положительны.
Перейдем от n к n+1. Все слагаемые в (*)возрастут, прибавится еще одно положительное слагаемое => f(n+1)> f(n)
Функция f(n) на множестве N – монотонно возрастает.
Покажем, что f(n) ограничена.
Все скобки в (*) меньше 1. Заменим их на 1. Правая часть возрастет.

Получим оценку:
f(n)=
Заменим в знаменателях все множители, большие чем 2, на 2. Правая часть еще больше возрастет, неравенство усилится.
f(n)=
Правая часть, начиная со второго слагаемого, - геометрическая прогрессия: b1=1/2, q=1/2.

Сумма n-1 члена:
Эта сумма меньше единицы. Получим оценку:
f(n)= < 3
∀n∈N

Функция f(n) возрастает, наименьшее значение принимает при n=1 .
f(1)=2
Итак, ∀n∈N: 2≤ f(n)<3 =>
f(n)= - ограничена.
(монотонна и ограничена на множестве натуральных чисел)
На основании теоремы 2, пункта 4 следует, что f(n) при n→∞ стремится к конечному пределу.

Этот предел называют «неперовым числом» и обозначают через «е».
е- иррациональное число, выражается бесконечной десятичной дробью
е=2,7181…
(Леонард Эйлер, L.Euler)

Число е играет большую роль в математике и в приложениях.
Логарифмы при основании е называются натуральными логарифмами. Обозначение lnx.
Натуральный логарифм примерно в 2,3 раза больше десятичного логарифма.
9. Натуральные логарифмы

Теорема. Если при х→а функции f1(x) и f2(x) стремятся каждая к конечному пределу, то:
1).
2).
3).
10. Теорема о конечных пределах функции

Доказательство единообразно.
Докажем вторую часть.
По условию ,
А1 и А2 – числа. Тогда по теореме 2.5:
f1(x)= А1 + ϕ1(х) и f2(x)= А2+ ϕ2 (х) , где ϕ1(х) и ϕ2 (х) – функции, б.м. в точке а.
f1(x) f2(x)=(А1 + ϕ1(х))⋅(А2+ ϕ2(х)) = А1 А2 +(А1 ϕ2(х)+
+А2 ϕ1(х)+ ϕ1(х) ϕ2(х))
Функция в скобках – б.м. в точке а. (См. теоремы)