Производные и дифференциалы высших порядков

Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Дифференциальное исчисление
Производные высших порядков
Пусть функция f (x) дифференцируема на отрезке [a, b].
Тогда её производная может быть выражена в виде некоторой функции g(x):
Если функция g(x) тоже дифференцируема на отрезке [a, b], то можно найти её производную g’(x), которая называется второй производной функции f (x) на отрезке [a, b]:

Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Дифференциальное исчисление
Производные высших порядков
есть третья производная функции f (x).
Аналогично, функция f ”(x) может оказаться дифференцируемой на отрезке [a, b], тогда
Продолжая, получим, что если на отрезке [a, b], (п–1)-я производная функции f (x) является дифференцируемой функцией, то
называется производной п–го порядка или п–й производной функции f (x).

Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Дифференциальное исчисление
Производные высших порядков
Обозначения п–й производной функции f (x):
Функции f (x) является п раз дифференцируемой в точке х0, если в этой точке у неё существуют все производные до п–го порядка включительно.
Если при этом все п производных являются на некотором отрезке [a, b] непрерывными функциями, то функция f (x) называется п раз непрерывно дифференцируемой функцией.
Функция f (x), имеющая производную любого порядка, называется бесконечно дифференцируемой функцией.

Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Дифференциальное исчисление
Дифференциалы высших порядков
Пусть f (x) – дифференцируемая функция, а её дифференциал
Дифференциалом второго порядка (вторым дифференциалом) функции f (x) называется дифференциал от её дифференциала, обозначаемый
Дифференциалом 3–го порядка функции f (x) называется дифференциал от её дифференциала 2–го порядка, обозначаемый
Аналогично получаем, что дифференциалом п–го порядка функции f (x) является

Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Дифференциальное исчисление
Дифференциал 2–го порядка
По определению имеем:
По правилу дифференцирования произведения имеем:
Если х – независимая переменная, то dx не зависит от х, и, следовательно,
Тогда

Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Дифференциальное исчисление
Если х – независимая переменная, то дифференциал 3–го порядка имеет вид:
где
Дифференциалы высших порядков
Для дифференциала п–го порядка имеем:
Если х – зависимая переменная, то дифференциал 2–го порядка следует находить по общей формуле:
Дифференциалы высших порядков не обладают свойством инвариантности формы.