Прототип заданий В12

Умения по КТ
Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры

Содержание задания В12 по КЭС
Уравнения и неравенства. 2.1.8 Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными 2.1.9 Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных 2.1.10 Использование свойств и графиков функций при решении уравнений 2.1.11 Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений с двумя переменными и их систем 2.1.12 Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений 2.2.6 Системы неравенств с одной переменной 2.2.7 Равносильность неравенств, систем неравенств 2.2.8 Использование свойств и графиков функций при решении неравенств 2.2.9 Метод интервалов 2.2.10 Изображение на координатной плоскости множества решений неравенств с двумя переменными и их систем

Задание B12 - текстовая задача на движение или работу. Чтобы выполнить это задание, ученик должен составить и решить уравнение по условию, правильно интерпретировать полученный результат.
Памятка ученику

Прототип задания B12
Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Примем путь за единицу, обозначим за х км/ч– скорость первого автомобилиста. Тогда скорость второго – (х+16) км/ч. Составим уравнение:
1/х=0,5/24+0,5/(х+16)
Корнями квадратного уравнения
х2-8х-768=0 являются числа-24 и 32.
Корень -24 не удовлетворяет условию задачи
Ответ: 32 км/ч.

Задания для самостоятельного решения
Проверка
Ответ: 1)56 км/ч, 2)36 км/ч.
1) Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 42 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 28 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
2) Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 27 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 18 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Прототип задания B12
Решение
Примем за х км/ч – скорость велосипедиста из А в В., тогда его скорость на обратном пути составляет (х+3) км/ч
Составим уравнение:
70/х=70/(х+3)+3
Корнями квадратного уравнени:
х∙х+3х+70=0 являются числа:
-10 и 7. 7+3=10
Ответ: 10 км/ч.
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

Задания для самостоятельного решения
Проверка
Ответ: 1) 11 км/ч, 2) 7 км/ч.
1) Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 154 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.
2) Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 77 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 4 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 4 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

Прототип задания B12
Решите задачу
Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 18:00. Определите (в км/час) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч.
Решение
Обозначим за х км/ч– собственную скорость лодки. (х-1) км/ч – скорость против течения; (х=1) км/ч – скорость по течению. Составим уравнение:
30/(х+1)+30/(х-1)+2.5=8
Его корни:
-1/11 и 11.
Ответ: 11 км/ч.

Задания для самостоятельного решения
Проверка
Ответ:
1)7 км/ч;
2) 4 км/ч
1) Байдарка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00. Определите (в км/час) собственную скорость байдарки, если известно, что скорость течения реки 2 км/ч.
2) Лодка в 9:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 19:00. Определите (в км/час) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч.

Прототип задания B12
Решите задачу
Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба?
Решение
Обозначим за х л/мин – производительность первой трубы, у л/мин- производительность второй трубы.
Составим систему:
х-у=1,
110/х=110/у+1;
х=1+у,
110/(1+у)=110/у+1;
х•х+х-110=0, корни:-11 и 10.
Ответ: 10.

Задания для самостоятельного решения
Проверка
Ответ:
1) 12 литров
2)11 литров
1)Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 192 литра она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая труба?
2)Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 165 литров она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая труба?

Прототип задания B12
Решите задачу
Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?
Решение
Обозначим за х – производительность 1 рабочего,
за у – производительность второго рабочего.
Составим систему:
х=1+у,
110/х-1=110/у;
х=1+у,
110/(1+у)-1=110/у;
х•х+х-110=0, корни:-11 и 10.
Ответ: 10.