РАЗБОР НЕКОТОРЫХЗАДАЧна тему:«Системы счисления»

1. Существует ли системы счисления с снованиями P и Q,
в которых 12P>21Q?
Решение: Из записи исходных чисел следует, что P >2 и Q >2. Так как 12P = 1*P+2, а
21Q = 2*Q+1, то исходное неравенство можно переписать в виде:
1*P+2 > 2*Q+1
P > 2*Q-1
Следовательно, для всех систем счисления с основаниями Q > 2 и P > 2*Q-1 выполняется равенство 12P > 21Q.

2. Для записи десятичного числа 371 найдите основание P системы счисления, в которой данное число будет представлено теми же цифрами, но записанными в обратном порядке, т.е. 37110 = 173P.
Решение: Воспользуемся развернутой формой представления числа в P-ичной системе счисления: 173P = 1*P2+7*P+3. Так как 371 = 173P, то получаем:
P2+7*P-368=0.
Решив данное квадратное уравнение, получаем единственный натуральный корень: 16
Следовательно, искомой является шестнадцатеричная система счисления.

3. Переведите число 2005 в систему счисления с основанием, равным вашему возрасту. Может ли в новой системе счисления получившееся число быть дробным?
Решение: Возраст ученика10 класса, как правило, 16 лет.
200510 = 1792+208+5 = 7*162+13*16+5*160 =7D516.
Полученное число обязательно будет целым.

4.Переведите в восьмеричную систему счисления конечную шестнадцатеричную дробь
BF3,616
Решение:
BF3,616 = 1011 1111 0011,01102 =101 111 110 011,0112 = 5763,38

5. Найдите 1999-ю цифру после запятой в четверичной записи десятичного числа 20,45.
Решение: Поскольку надо найти 1999-ю цифру после запятой, достаточно перевести в четверичную систему счисления дробную часть, т.е. число 0,45.
0,45*4 = 1,8
0,8*4=3,2
0,2*4=0,8
0,8*4=3,2
Получили 0,4510=0,1(30)4.
Найдем теперь 1999-юцифру этого числа. Первая цифра после запятой – единица; остаются 1998 цифр, находящихся в периодической части. Число 1998 – четной, т.е. последовательность из двух цифр (30) повторится четное число раз.
Следовательно, 1999-й цифрой будет 0.

6. Переведите число 1234,56789 в 27-ричную систему счисления, ABCD,EF16 – в восьмеричную.
Решение: В первом случае используем троичную систему счисления как промежуточную, а во втором – двоичную.
1234,56789 1021011,1220212203 174,[17]7[24]27
ABCD,EF16 1010101111001101,1110111102 125715,7368

7. Сумму восьмеричных чисел
17+1700+170000+17000000+1700000000
перевели в шестнадцатеричную систему счисления. Найдите в записи числа, равного этой сумме, пятую цифру слева
Решение: Выполним сложение 1700000000
17000000
170000
1700
17
17171717178
8=23, то каждую цифру в записи числа заменим на двоичную триаду:
17171717178=001 111 001 111 001 111 001 111 001 1112 = 00 1111 0011 1100 1111 0011 1100 11112=
=OF3CF3CF16 = F3CF3CF16
Следовательно, пятая цифра слева в шестнадцатеричной записи числа – это 3.
+

ЕГЭ
A4
Как представлено число 8310 в двоичной системе счисления?
10010112 2) 11001012 3) 10100112 4) 1010012
Решение: Переведем данное число в двоичную систему счисления
8310=64+16+2+1=26+24+21+20 = 10100112
Ответ: 3

ЕГЭ
A4
Количество значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 129 равно:
1)5 2)6 3)7 4)4
Решение: Переведем данное число в двоичную систему счисления
12910 = 128+1 =27+20= 100000012
Ответ: 2

ЕГЭ
A5
Вычислите сумму двоичных чисел x и y, если x=10101012, y=10100112:
1)101000102 2)101010002 3)101001002 4)101110002
Решение: 1010101
1010011
101010002
Ответ: 2
+

ЕГЭ
A3
1. Дано: а=D716, b=3318. Какое из чисел c, записанных в двоичной системе, отвечает условию a
1) 11011001 2) 11011100 3) 11010111 4) 11011000
Решение:
a=D716 = 13*16+7 = 21510
b = 3318 =3*82+3*8+1 = 21710
c = 21610 = 27+26+24+23 = 110110002
Ответ: 4

ЕГЭ
A4
Чему равна сумма чисел 438 и 5616?
1) 1218 2) 1718 3) 6916 4) 10000012
Решение:
438 = 4*8+3 = 3510
5616 = 5*16+6 = 8610
35+86 = 12110 = 1718
6916= 10510
10000012=6510
Ответ: 2

ЕГЭ
A
Для кодирования букв А, Б, В, Г решили использовать двухразрядные последовательные двоичные числа (от 00 до 11, соответственно). Если таким способом закодировать последовательность символов БАВГ и записать результат шестнадцатеричным кодом, то получится
1)4B 2) 411 3) BACD 4) 1023
Решение:
А – 00, Б – 01, В – 10, Г – 11
БАВГ – 010010112
0100 10112 = 4В16
Ответ: 1

ЕГЭ
В3
Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11.
Решение:
410 = 104, значит 510 = 114
Следующим число оканчивающимся на 11 будет
1114 = 2110
2114=3710 >25. Данное число не подходит.
Ответ: 5,21