Скалярное произведение векторов

Угол между векторами.
Пусть a и b – два данных вектора. Отложим от произвольной точки О векторы ОА = a и ОВ=b. Если векторы a и b не сонаправленные ,то лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ. Градусную меру угла обозначим буквой @ и будем говорить ,что угол между векторами a и b равен @. Если векторы a и b сонаправлены , в частности один из них или оба нулевые, то будем считать, что угол между векторами a и b равен 0 градусов . Угол между векторами
a и b обозначается так : a b
O1
A1
A
B
a
O
a
a
B1
b
b
b
@
@

Угол между векторами.
Два вектора называются перпендикулярными , если угол между ними равен 90 градусов. На рисунке b c , b d, b f.
30
f
d
c
b
a

Скалярное произведение векторов.
I Скалярное произведение двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
II Скалярное произведение нулевых векторов равно нулю тогда и только тогда ,когда эти векторы перпендикулярны.
III Скалярное произведение a * a называется скалярным квадратом вектора a и обозначается a . Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длинны.
2

Скалярное произведение в координатах.
Теорема
Скалярное произведение векторов
a {x ;y } и b {x ; y } выражается формулой a * b = x x + y y.
1
2
2
2
2
1
1
1

Скалярное произведение в координатах.
Следствие I
Следствие II
Нулевые векторы a {x ;y } и b {x ;y }
перпендикулярны тогда и только тогда,
когда x x + y y =0.
Косинус угла @ между ненулевыми векторами
a {x ;y } и b {x ;y } выражается формулой
cos @ = x x +y y
x +y
2
2
1
1
x + y
*
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2