Состояние и перспективытеории индексовцен и количеств

1. Базовые понятия и обозначения

2. Индексные формулы как инструмент
Bodin (1568)
Man (1609):
Fleetwood (1707):
Du To (1738):
Фарбер (1750):
Carli (1751):
A.Smith (1776):
Вирт (1803):

Щеткин (1818):
Young (1811):
Drobish
Laspeyres (1871):
"формулы Ласпейреса и Пааше"
Paashe (1874):
Edgeworth (1888):
Walsh (1901):
(1871)

3. Три направления в теории индексов:
статистическое, экономическое, траекторное
Статистическое направление и его ветви
вероятностная (Edgeworth, 1877-79, 1925);
алгебраическая (I.Fisher, 1922);
тестовая.

Проверяемые тесты для индексов цен
Т1. Идентичность: IP(p0,q0;p0,q0)=1 (Vartia)
Т2. Пропорциональность: IP(p0,q0;α∙p1,q1)= α∙IP(p0,q0;p1,q1) (Walsh, 1901)
T3. Инвариантность к изменению масштабов:
IP(α∙p0,β∙q0;α∙p1,β∙q1)= IP(p0,q0;p1,q1) (Vartia)
Т4. Инвариантность к выбору единиц измерения (Fisher, 1911):
IP(αi∙pi0,αi-1∙qi0;αi∙pi1,αi-1∙qi1)= IP(p0,q0;p1,q1) T5. Обратимость состояний: IP1/0=1/IP0/1

Т6. Независимость от выбора нумерации состояний (Fisher, 1921)
Т7. Монотонность: IP(p0,q0;p1,q1)≤ IP(p0,q0;p,q1), если pi1≤ p (Fisher, 1921)
Т8. Свойство среднего: (Eichhorn, 1976)
T9. Циркулярность (транзитивность): IP1/0∙IP2/1=IP2/0 (Westergaard, 1890)
Т10. Обратимость факторов: IP(p0,q0;p1,q1)∙ IP(q0,p0;q1,p1)=IV (Fisher, 1921)
Т11. Тест стоимости (product test): IP∙IQ=IV (Frish, 1930; Старовский, 1929, 30)
и еще более 10 тестов

Тесты использовались для выяснения:
какие тесты выполняются для IP, IQ;
совместен ли заданный набор тестов;
является ли аксиома "Б" следствием аксиомы "А";
определяется ли индекс цен IP (или IQ, или IP, IQ) однозначно набором аксиом;
существует ли для заданного набора аксиом общая индексная формула для удовлетворяющих ему индексов.

Важные результаты:
индексы цен Ласпейреса (IPL=p1q0/p0q0) и Пааше (IPL=p1q1/p0q1) не удовлетворяют аксиомам обратимости состояний (Т5) и циркулярности (Т9);
индексы Фишера IPF и IQF не удовлетворяют аксиоме циркулярности (Т9), но однозначно определяются различными наборами аксиом.

Несовместны аксиомы: среднего (Т8), циркулярности (Т9), обратимости факторов (Т10) и стоимости (Т11).
Аксиомы Т8 и Т9 совместны, но удовлетворяющий им индекс цен не зависит от количеств (q0 и q1).

Аксиомы-тесты лишь кажутся очевидными.
В рамках статистического направления не решается задача выбора или конструирования индексов IP, IQ, имеющих желательные свойства. Не удается "понять" причины, по которым наборы аксиом оказываются несовместными.

Экономическое направление
Основная идея: существование агрегаторной функции (AF) – функции полезности (UF) или производственной функции (PF).
IP, IQ – точные (exact) по отношению к " AF " f(x), , если для t=0 и 1 при заданных ,

Найдены точные индексы:

Обосновать выбор "универсальной" агрегаторной функции не удается.
Экономическая теория не допускает существования универсальной функции полезности или производственной функции, используя которую можно было бы получать точные (exact) индексы цен и количеств, применяемые в статистической практике.

Траекторное направление (F.Divisia)
Постулат: недостаточно знать сравниваемые состояния; надо знать, как начальное состояние преобразуется в финальное.
Индексы Дивизиа IPD и IQD конструируются заданием пути π(t;p0,q0;p1,q1)≡{p(t),q(t)}, соединяющего состояния (p0,q0), (p1,q1):

Richter (1966): 8 аксиом определяют конструкцию индексов Дивизиа, но не семейство путей.
Hulton (1973): если IPD и IQD не зависят от путей, определяются только сравниваемыми состояниями, то существует функция f(q) такая, что
Экономическая теория отрицает существование такой функции (ее существование противоречит природе цен).

Аппроксимация индексов Дивизиа
(без задания путей)

Итоги классической теории
Исходные положения трех направлений не согласуются, взаимно критикуются.
Каждое направление натолкнулось на не решаемую в его рамках проблему:
невозможность обоснованного выбора набора аксиом,
невозможность обоснованного выбора агрегаторной функции "AF",
невозможность обоснованного выбора системы путей.

Примерно с начала 80-х гг. прошлого века в направлениях не были получены новые результаты фундаментального характера. Итоги подведены в энциклопедии-словаре "The New Palgrave. A Dictionary of Economics" (Vol. 1, 1987) в 2-х не связанных между собой статьях:
Diewert W.E. Index Numbers;
Hulten C.D. Divisia Index.
На практике используются индексы Ласпейреса, Пааше, Фишера, Торнквиста и Монтгомери. Сферы и условия их применения теоретически не разграничены.

4. Данные, которыми оперирует практическая статистика
Моментная (мгновенная) цена pi(k) i-го товара в коротком, k-м периоде ("дне"), для которого цена принимается постоянной (статистически измеряема). Количество qi(k) трудно, даже вряд ли статистически измеряемо.
Средняя цена Pi(s) i-го товара для s-го периода, состоящего из последовательности "коротких" периодов.

5. Индексы Фишера, Торнквиста, Монтгомери как индексы Дивизиа
Найдены "законы" изменения цен и количеств, порождающие эти индексы как индексы Дивизиа, а не как их аппроксимации (Ершов, 1990, 2003-2006):
для индексов Фишера IPF, IQF;
для индексов Торнквиста IPTo и IQTo≡IV/IPTo;
для индексов Монтгомери IPM, IQM.

6. Новый класс h-индексов Дивизиа

7. Траекторная аксиоматика и проблема
выбора "совершенных" путей индексов

Если F(x) – монотонная, гладкая функция,
то медиальный путь существует!

8. Статистическая и динамическая концепции

Направления дальнейших исследований

Состояние и перспективы
теории индексов
цен и количеств
(материалы к докладу)
Ершов Э.Б.

1. Базовые понятия и обозначения
- цена,
- количество,
- стоимость i-го продукта,
Индексы: цен количеств
стоимости
Сравниваемые состояния:

2. Индексные формулы как инструмент
(Г.В. Ковалевский. Индексный метод в экономике. М.: Финансы и статистика, 1989).
Bodin (1568)
Man (1609):
Fleetwood (1707):
Du To (1738):
Фарбер (1750):
Carli (1751):
A.Smith (1776):
Вирт (1803):
Щеткин (1818):
Young (1811):
Drobish (1871)
Laspeyres (1871):
Paashe (1874):
Edgeworth (1888):
Walsh (1901):
"формулы Ласпейреса и Пааше"

3. Три направления в теории индексов
Статистическое направление и его ветви
вероятностная (Adgeworth, 1887-89, 1925; Walsh, 1901; Keynes, 1921);
алгебраическая (Bowley, 1899; Walsh, 1901; Pigou, 1920; I.Fisher, 1911, 21): 134 индексные формулы, "идеальные" индексы Фишера IPF, IQF;
тестовая (Westergaard, 1890; Pierson, 1896; Walsh, 1901; Fisher, 1921; Frish, 1930; Gini, 1931; Swamy, 1965; Ершов, 1965; Eichhorn, 1970, 76, 78; Samuelson, Swamy, 1974; Funke, Voeller, 1979; Diewert, 1983, 87; Vartia, 1985; Зоркальцев, 1991, 96).

Проверяемые тесты-аксиомы для индексов цен
Т1. Идентичность: IP(p0,q0;p0,q0)=1 (Vartia, 1985)
Т2. Пропорциональность: IP(p0,q0;α∙p1,q1)= α∙IP(p0,q0;p1,q1) (Walsh, 1901)
T3. Инвариантность к изменению масштабов:
IP(α∙p0,β∙q0;α∙p1,β∙q1)= IP(p0,q0;p1,q1) (Vartia, 1985)
Т4. Инвариантность к выбору единиц измерения:
IP(αi∙pi0,αi-1∙qi0;αi∙pi1,αi-1∙qi1)= IP(p0,q0;p1,q1) (Fisher, 1911)
T5. Обратимость состояний: IP1/0=1/IP0/1
Т6. Независимость от выбора нумерации состояний (Fisher, 1921)
Т7. Монотонность: IP(p0,q0;p1,q1)≤ IP(p0,q0;p,q1), если pi1≤ p (Fisher, 1921)
Т8. Свойство среднего: (Eichhorn, 1976)
T9. Циркулярность (транзитивность): IP1/0∙IP2/1=IP2/0 (Westergaard, 1890)
Т10. Обратимость факторов: IP(p0,q0;p1,q1)∙ IP(q0,p0;q1,p1)=IV (Fisher, 1921)
Т11. Тест стоимости (product test): IP∙IQ=IV (Frish, 1930; Старовский, 1929, 30)
и еще более 10 тестов

Тесты-аксиомы использовались для выяснения:
какие тесты выполняются для пары IP, IQ;
совместен ли заданный набор тестов;
является ли аксиома "Б" следствием аксиомы "А";
определяется ли индекс цен IP (или IQ, или IP, IQ) однозначно набором аксиом;
существует ли для заданного набора аксиом общая индексная формула для удовлетворяющих ему индексов.
Важные результаты:
индексы цен Ласпейреса (IPL=p1q0/p0q0) и Пааше (IPL=p1q1/p0q1) не удовлетворяют аксиомам обратимости состояний (Т5) и циркулярности (Т9);
индексы Фишера IPF и IQF не удовлетворяют аксиоме циркулярности (Т9), но однозначно определяются различными наборами аксиом.

Несовместны аксиомы: среднего (Т8), циркулярности (Т9), обратимости факторов (Т10) и стоимости (Т11).
Аксиомы Т8 и Т9 совместны, но удовлетворяющий им индекс цен не зависит от количеств (q0 и q1).
Аксиомы-тесты лишь кажутся очевидными. В рамках статистического направления не решается задача выбора или конструирования индексов IP, IQ, имеющих желательные свойства. Не удается "понять" причины, по которым наборы аксиом оказываются несовместными.
На практике используются индексы цен Ласпейреса IPL, объемов Пааше IQP и Фишера ,
(имплицитные пары индексов, удовлетворяющие тесту стоимости).

Экономическое направление
Конюс (1924), Бюшгенс (1925), Конюс, Бюшгенс (1926), Haberler (1927), Frish (1930), Staehl (1935, 36), Leontief (1936), Hicks (1942), Ulmer (1946), Malmquist (1953), Bergson, 1961; Moorsteen, 1961; F.Fisher, K.Shell (1972), Samuelson, Swamy (1974), Pollak (1975), Lau (1979).
Основная идея: существование агрегаторной функции (AF) – функции полезности (UF) или производственной функции (PF).
IP, IQ – точные (exact) по отношению к " AF " f(x), , если для t=0 и t=1 при заданных ,
Найдены точные индексы:

Попытка сближения статистического и экономического направлений (Diewert)
Ввел понятие суперлативных (superlative) индексов, т.е. точных индексов, для которых f(x) и c(u,p) являются приближениями (в общей точке p0=p1, q0=q1) дважды дифференцируемых, линейно-однородных функций
(совпадают производные 1-го и 2-го порядков).
Надежда на то, что можно использовать суперлативные (превосходные) индексы, являющиеся приближениями неизвестных точно индексов.
Обосновать выбор "универсальной" агрегаторной функции не удается.
Экономическая теория не допускает существования универсальной функции полезности или производственной функции, используя которую можно было бы получать точные (exact) индексы цен и количеств, применяемые в статистической практике.
Гипотеза "близости" сравниваемых состояний не имеет формулировки, приемлемой с позиции статистического направления (близость состояний используется при введении понятия "суперлативных" индексов).

Траекторное направление (F.Divisia, 1925-26)
Принимается постулат: недостаточно знать сравниваемые состояния (p0,q0) и (p1,q1); надо знать, как начальное состояние преобразуется в финальное.
Индексы Дивизиа IPD и IQD конструируются с помощью задания пути π(t;p0,q0;p1,q1)≡{p(t),q(t)}, соединяющего состояния (p0,q0), (p1,q1):
(t – параметр, не обязательно время; 0 ≤ t ≤ 1; "состояние" – не всегда "момент", а, возможно, "период").
Индексы Дивизиа удовлетворяют аксиомам обратимости состояний, обратимости факторов, стоимости, но не удовлетворяют аксиомам однородности и циркулярности.
Критика: не ясно, как выбрать путь {p(t),q(t)}.

Richter (1966): 8 аксиом определяют конструкцию индексов Дивизиа, но не семейство путей.
Hulton (1973): если IPD и IQD не зависят от путей, определяются только сравниваемыми состояниями, то существует функция f(q) такая, что
Экономическая теория отрицает существование такой функции (ее существование противоречит природе цен).
Vogt (1978): предложил "натуральные" индексы IPV, IQV, определяемые линейными траекториями
pi(t)=pi0+t(pi1-pi0), qi(t)=qi0+t(qi1-qi0),
для которых
p(t)q(t)=p0q0+t[p0(q1-q0)+(p1-p0)q0]+t2(p1-p0) (q1-q0).
Попытки использовать экспоненциальные пути
pi(t)=pi0(pi1/pi0)t, qi(t)=qi0(qi1/qi0)t,
натолкнулись на то, что индексы IPD и IQD для таких путей не выражаются в виде элементарных функций от цен и количеств в сравниваемых состояниях.

Аппроксимация индексов Дивизиа (без задания путей)

Свойства аппроксимаций
Индекс Торнквиста IQTo – точный для однородной, транслоговой агрегаторной функции AF (Diewert).
Индексы Монтгомери – точные для AF Кобба-Дугласа:
аппроксимируют (с точностью до второго порядка малости) любые суперлативные индексы (Diewert, 1978);
согласованы при агрегировании (Vartia, 1975; Diewert, 1978); как и пара индексов (IPL,IQL).

Итоги классической теории
Исходные положения трех направлений не согласуются, взаимно критикуются.
Каждое направление натолкнулось на не решаемую в его рамках проблему:
невозможность обоснованного выбора набора аксиом,
невозможность обоснованного выбора "AF",
невозможность обоснованного выбора системы путей.
Примерно с начала 80-х гг. прошлого века в направлениях не были получены новые результаты фундаментального характера. Итоги подведены в энциклопедии-словаре "The New Palgrave. A Dictionary of Economics" (Vol. 1, 1987) в 2-х не связанных между собой статьях:
Diewert W.E. Index Numbers;
Hulten C.D. Divisia Index.
На практике используются индексы Ласпейреса, Пааше, Фишера, Торнквиста и Монтгомери. Сферы и условия их применения теоретически не разграничены.
Направления развития теории индексов, включая идеи сближения ее направлений, не определены.

4. Данные, которыми оперирует практическая статистика
Моментная (мгновенная) цена pi(k) i-го товара в коротком, k-м периоде ("дне"), для которого цена принимается постоянной (статистически измеряема). Соответствующее количество qi(k) трудно, даже вряд ли статистически измеряемо.
Средняя цена Pi(s) i-го товара для s-го периода ("месяц", "квартал", "год"), состоящего из последовательности "коротких" периодов ("k Є S")
где Ω – множество изучаемых операций.
Величины Vi(s) и Qi(s) измеряются (хотя бы выборочными методами).

Индексы цен

Цели расчета моментных и средних индексов не совпадают. С помощью моментных индексов Ip(k,l) сравниваются уровни цен в моменты "k" и "l"; моментные индексы количеств Iq(k,l) и стоимости v(k)/v(l) обычно не применяются. Для Ip(k,l) "разумными" формулами считаются индекс Ласпейреса (q=q0), Пааше (q=q1), Эджворта (q=q0+q1):
Ip(k,l)=pkq / plq.
Если пересчет стоимостей v0 и v1 в другие цены выполняется с помощью "моментных" индексов цен-дефляторов
то аксиомы обратимости состояний и циркулярности не выполняются.
Средние индексы цен IPs/(s-1) рассчитываются с целью получения индекса физического объема IQs/(s-1) и индекса цен-дефлятора IP(s-1)/s=1/ IPs/(s-1), удовлетворяющих аксиоме стоимости.
Новое допущение: индексы Дивизиа в качестве исходных данных рассматривают цены и количества для периодов s=1 и s=0, а не для моментов.

5. Индексы Фишера, Торнквиста, Монтгомери
являются индексами Дивизиа
Найдены "законы" изменения "средних" для периодов цен и суммарных для периодов количеств, порождающие эти индексы как индексы Дивизиа, а не как их аппроксимации при близких сравниваемых состояниях (Ершов, 1990, 2003, 2005, 2006):
для индексов Фишера IPF, IQF
для индексов Торнквиста IPTo и IQTo≡IV/IPTo

для индексов Монтгомери IPM, IQM
При определении средних для периодов индексов конструкция Дивизиа не противоречит исходным положениям статистического и экономического направлений. Предположение о близости сравниваемых состояний не является необходимым. Но требует решения проблема выбора семейства путей.

6. Новый класс h-индексов Дивизиа

7. Траекторная аксиоматика и проблема
выбора "совершенных" путей индексов

И.Фишер: "Мне пришлось убедиться в неправильности многих выводов, к которым я пришел в "Покупательной силе денег". Так, например, вместе с другими авторами, я делал несомненную ошибку в отношении так называемого "теста круговой сходимости" (circular test), который я считал совершенно основательным и корректным и который ныне отбрасываю как совершенно неправильный… Основным из разработанных в моем первом исследовании тестов является тест (испытание) "обратимости по времени" (time reversal test). Этот тест, как и новый тест "обратимости по факторам" (factor reversal test), являются теми китами, на которых должна покоиться любая надежная индексная формула".
"Построение индексов", ЦСУ СССР, Москва, 1928, с.4.

Причиной, вызывавшей происходившую в течение более 70 лет дискуссию о возможности выбора и теоретического обоснования так называемых "совершенных", или "идеальных", индексов цен и количеств, можно и предлагается считать отождествление, неразграничение двух концепций таких индексов:
статической концепции, имеющей целью сравнение уровней цен в двух периодах;
динамической концепции, ставящей и решающей задачу пересчета потока стоимости для одного периода в средние цены другого периода.
8. Статическая и динамическая концепции теории индексов