специальные вопросы ТВиМС часть1 распределения, связанные с нормальным

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН
Def
μ - параметр сдвига,  - параметр масштаба
~N(0;1) – стандартный нормальный закон

ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Свойства нормального распределения:
~N(μ;2), a, b => a+b~N(aμ+b;a22)
устойчивость относительно линейного преобразования.
Так же этим свойством обладают распределения:
~U[m1;m2] => a+b~U[am1+b;am2+b] - равномерное
~Exp(λ,) => a+b~ Exp(aλ; a+b) - экспоненциальное
~L(λ,) => a+b~L(aλ; a+b) - Лапласа
~Λ(μ;) => a+b~Λ(aμ+b;a) - логистическое
~C(μ;) => a+b~C(aμ+b;a) - Коши
Найдите формулы плотностей и докажите, что свойство линейности выполняется, в т.ч. и для N(μ;2)

ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Свойства нормального распределения:
Пример
~Exp(λ,) => a+b~ Exp(aλ; a+b) - экспоненциальное
λ - характеризует время ожидания некоторого события
 - характеризует момент времени, с которого мы ожидаем проявление события
aλ - изменение масштаба времени
a+b – сдвиг момента времени (в новом масштабе), с которого будем ожидать появление события

ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Свойства нормального распределения:
устойчивость относительно линейного преобразования
Пример логистическое распределение:
Докажите симметричность
Найдите мат.ожидание

ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Свойства нормального распределения:
устойчивость относительно умножения на константу.
~ P(k;θ) => a~ P(ak;θ) - Парето
~ W(k;λ) => a~ W(k;aλ) - Вейбула
~Г(k;θ) => a~Г(k;aθ) – гамма-распределение
Найдите формулы плотностей и докажите, что это свойство выполняется

ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Свойства нормального распределения:
Пример
~ P(k;θ) => a~ P(ak;θ) - распределение доходов
k – характеризует минимальный доход (единица измерения)
 - параметр формы
ak – изменение единицы измерения

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО СЛОЖЕНИЮ
Свойства нормального распределения:
i~N(μi;i2) - независимы => 1+2~N(μ1+μ2;12+12):
устойчивость по сложению.

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО СЛОЖЕНИЮ
Свойства нормального распределения:
Устойчивостью по сложению независимых с.в. обладают также: i~B(ni;p) => Σi~B(Σni;p) - биномиальное
i~Poiss(λi) => Σi~Pois(Σλi) - пуассоновское
i~Г(ki;θ) => Σi~Г(Σki;θ) – гамма распределение
i~2(ki) => Σi~2(Σki) – Хи-квадрат
Докажите это свойство для пуассоновского распределения
i~Exp(λ;0) => Σi~Г(k;λ) – экспоненциальное сворачивается в гамма-распределение при суммировании

УСТОЙЧИВОСТЬ ПО СЛОЖЕНИЮ
Свойства нормального распределения:
Примеры
i~B(ni;p) => Σi~B(Σni;p) - биномиальное
p – вероятность успеха
n – длина сери испытаний
EΣi=pΣni – ожидаемое число успехов не зависит от числа серий
i~Poiss(λi) => Σi~Pois(Σλi) - пуассоновское
λ - характеризует интенсивность потока событий
EΣi=Σλi – суммарная интенсивность нескольких потоков

ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ОБЛАСТИ
Свойства нормального распределения:
~N(μ;2)
Правило нескольких сигм:
P(|-μ|<)≈68.3% x=μ+/- - точка перегиба гауссианы
P(|-μ|<2)≈95.5%
P(|-μ|<3)≈99.7%

ЛОГНОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, LN
Def ~LN(μ;2) – логнормальное распределение с параметром сдвига μ и параметром масштаба , если =ln~N(μ;2)

ЛОГНОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, LN
Плотность логнормального распределения
Рассмотрим ~LN(0;1) <=> ~N(0;1)

ЛОГНОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, LN
Плотность логнормального распределения
~LN(0;1) <=> ~N(0;1)
~LN(μ;2) <=> ~N(μ;2)
Докажите, используя линейность нормального закона

ЛОГНОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, LN
Свойства логнормального распределения
Докажите свойства (начните со случая ~LN(0;1) )

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Коши, С
Def 1, 2 ~N(0;1) => =1/2~C(0;1) – стандартное распределение Коши
Def ~C(μ;) – распределение Коши с параметром сдвига μ и параметром масштаба , если d.d.f. :

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Коши, С
Свойства распределения Коши:
~C(μ;)
Mo=Me=μ
Не существует ни одного момента!
( в т.ч. E, D, As, Ex - не определены)
 ~C(μ;) => a+b~C(aμ+b;a)
i~C(0;1) i.i.d. => (Σi)/n ~ C(0;1)
Докажите свойства 1. и 3.

ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, Γ
Def ~Г(k;) – Гамма-распределение с параметром формы k и параметром масштаба , если d.d.f :

ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, Γ
Свойства Гамма-распределения:
Докажите свойства 1.-3. ,6. и 8.
(для 1. и 2. используйте индукцию и свойство 7.)

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Пирсона, 2
Def
распределение Пирсона,
d.f.=k – число степеней свободы (параметр формы)

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Пирсона, 2
Плотность распределения 2(1)
Рассмотрим ~N(0;1) <=> =2~2(1)

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Пирсона, 2
Плотность распределения 2(1)
Рассмотрим ~N(0;1) <=> =2~2(1)

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Пирсона, 2
Плотность распределения 2(1)
Рассмотрим ~N(0;1) <=> =2~2(1)

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Пирсона, 2
Свойства распределения 2(k)

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Пирсона, 2
Свойства распределения 2(k)
Все свойства (кроме 8.) – вытекают из двух:

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Пирсона, 2
Свойства распределения 2(k)
Прямое доказательство:
Докажите напрямую свойства 2., 3., 6.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Снедекора-Фишера, F
Def F-распределение (Снедекора-Фишера),
d.f.=(k1;k2) – число степеней свободы

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Снедекора-Фишера, F
Свойства F-распределения (Снедекора-Фишера)
Докажите свойства 3.-5.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Стьюдента, St
Def распределение Стьюдента с d.f.=k (параметр формы):

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Стьюдента, St
Def распределение Стьюдента с d.f.=k (параметр формы):

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Стьюдента, St
Плотность распределения Стьюдента

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Стьюдента, St
Свойства распределения St(k)
Докажите свойства 4.-7.