Векторная алгебра

Определение. Вектором или по-другому свободным вектором называется направленный отрезок (т.е. отрезок, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая – за конец).
Расстояние от начала вектора до его конца называется длиной (модулем) вектора.
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом.
Вектор, начало и конец которого совпадают, называ-ется нулевым и обозначается . Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю.

Под углом между векторами и будем понимать угол, величина которого не превышает 1800.
Два вектора и называются ортогональными, если угол между ними равен 900.
Два вектора и называются коллинеарными, если они лежат на одной или параллельных прямых.
Три вектора, лежащие в одной или в параллельных плоскостях, называются компланарными.
Два вектора называются равными, если они сона-правлены и имеют одинаковую длину. Все нулевые векторы считаются равными.

Определение. Произведением вектора на число
называется вектор, длина которого , а направление совпадает с направлением вектора
при и противоположно ему при . Если
или , то их произведение полагают рав-ным .
=
противоположный вектору
Лемма 2.1 (критерий коллинеарности векторов). Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда , для некоторого числа .

Определение. Суммой векторов и называется вектор, соединяющий начало вектора с концом вектора , отложенного от конца вектора .
Правило треугольника
Правило параллелограмма
=
разность векторов

Свойства линейных операций над векторами
4.
1.
2.
8.
7.
6.
5.
3.

Пусть – произвольный вектор.
Тогда
или

Свойства проекций:
1.
2.
3.

Пример

– невозможно

Свойства скалярного произведения
4.
1.
2.
3.

Свойства векторного произведения
4.
1.
2.
3.

Свойства смешанного произведения
1.
2.
3.