Вынужденные колебания

Если колебательная система подвергается воздействию внешней периодической силы, то возникают так называемые вынужденные колебания, имеющие незатухающий характер.

Внешняя сила периодически изменяется по гармоническому закону
По II закону Ньютона имеем:
Разделив это уравнение на m, и перенеся члены с x и F в левую часть, получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения.

Общее решение уравнения вынужденных колебаний таково:

Первое слагаемое в правой части этой формулы представляет свободные колебания. Их частота ω0 определяется внутренними свойствами системы, а амплитуда А0 и фаза φ’ — начальными условиями и внешними воздействиями.
Второе слагаемое, называемое вынужденными колебаниями, обусловлено наличием внешней (вынуждающей) силы.

Амплитуда вынужденных колебаний
Фаза вынужденных колебаний

Первое слагаемое играет заметную роль только в начальной стадии процесса, при так называемом установлении колебаний. С течением времени из-за экспоненциального множителя роль первого слагаемого все больше уменьшается, и по прошествии достаточного времени им можно пренебречь, сохраняя лишь второе слагаемое

Установившиеся колебания – гармонические с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы и зависит от частоты вынуждающей силы. Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, причем величина отставания также зависит от частоты вынуждающей силы.

Частное решение уравнения вынужденных колебаний можно получить с помощью векторной диаграммы. Продифференцируем уравнение
и подставим результат в уравнение вынужденных колебаний. Получим:

Вынужденные колебания
На рисунке показана векторная диаграмма.

Уравнение колебательного
контура

Полное сопротивление
колебательного контура
Из закона Ома для участка цепи переменного тока:
Реактивное сопротивление

Сдвиг фаз между колебаниями силы тока и напряжения (отношение реактивного сопротивления к активному):

РЕЗОНАНС
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Это явление называется резонансом, соответствующая частота – резонансной частотой.

Чтобы определить резонансную частоту ωрез, нужно найти максимум функции определяющей зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы.

Продифференцировав выражение
по ω и приравняв нулю, получим условие, определяющее ωрез:

Данное уравнение имеет три решения: ω=0 и
Решение равное нулю, соответствует максимуму знаменателя. Из остальных двух решений отрицательное не подходит, как не имеющее физического смысла. В результате, для резонансной частоты получается значение:

Если частота ω внешней силы приближается к собственной частоте ω0, возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний, то есть возникает резонанс. Зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой.

РЕЗОНАНС

При очень большом затухании выражение для резонансной частоты становится мнимым. Это означает, что при этих условиях резонанс не наблюдается – с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает.

При стремлении ω к нулю все кривые приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению, равному
то есть . Это значение представляет собой смещение из положения равновесия, которое получает система под действием постоянной силы величины F0 .

При резонансе амплитуда Арез колебания может во много раз превосходить амплитуду А колебаний свободного конца пружины, вызванного внешним воздействием. В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать.

В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение (т. е. чем выше добротность Q колебательной системы), тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе. У колебательных систем с не очень высокой добротностью (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот

Зависимость φ от ω при различных значения коэффициента затухания β. Частоте ω0 соответствует φ=π/2.

Параметрический резонанс заключается в совершаемом в такт с колебаниями периодическом изменении какого-либо параметра системы, вследствие чего само явление называется параметрическим резонансом. Пример – маятник с изменяющейся нитью.

Увеличение энергии маятника при этом происходит за счет работы, которую совершает сила, действующая на нить.
Сила натяжения нити при колебаниях маятника непостоянна: она меньше в крайних положениях, когда скорость обращается в нуль, и больше в среднем положении, когда скорость маятника максимальна.
Поэтому отрицательная работа внешней силы при удлинении маятника оказывается меньше по величине, чем положительная работа, совершаемая при укорочении маятника.
В итоге работа внешней силы за период оказывается больше нуля.

Вынужденные колебания следует отличать от автоколебаний.
В случае автоколебаний в системе предполагается специальный механизм, который в такт с собственными колебаниями "поставляет" в систему небольшие порции энергии из некоторого резервуара энергии. Тем самым поддерживаются собственные колебания, которые не затухают. В случае автоколебаний система как бы сама себя подталкивает.