6. Механика жидкости и газа.ppt

Гидроаэромеханика — (раздел механики, изучающий равновесие и движение жидкостей и газов, их взаимодействие между собой и обтекаемыми ими твердыми телами)— использует единый подход к изучению жидкостей и газов.
В механике с большой степенью точности жидкости и газы рассматриваются как сплошные, непрерывно распределенные в занятой ими части пространства.

Если в покоящуюся жидкость поместить тонкую пластинку, то части жидкости, находящиеся по разные стороны от нее, будут действовать на каждый элемент ее поверхности с силами , которые независимо от того, как пластинка ориентирована, будут равна по модулю и направлены перпендикулярно площадке .
Давление:

Единица давления—Паскаль (Па): 1 Па равен давлению, создаваемому силой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1 м2 (1 Па = 1 Н/м2).
Давление при равновесии жидкостей (газов) подчиняется закону Паскаля: давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям, причем давление одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жидкостью.
При равновесии жидкости давление по горизонтали всегда одинаково, иначе не было бы равновесия. Поэтому свободная поверхность покоящейся жидкости всегда горизонтальна вдали от стенок сосуда.

Если жидкость несжимаема, то ее плотность не зависит от давления. Тогда при поперечном сечении S, высоте h и плотности столба жидкости, его вес , а давление на нижнее основание
Давление называется гидростатическим давлением.
Закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость (газ), действует со стороны этой жидкости направленная вверх выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа):
(28.1)

§ 29. Уравнение неразрывности
Движение жидкости называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости — потоком.
Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока, которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства (рис. 45).
Густота линий тока, характеризуемая отношением числа линий к площади перпендикулярной им площадки, через которую они проходят, пропорциональна скорости течения жидкости.

Линии тока в жидкости можно «проявить», например, подмешав в нее какие-либо заметные взвешенные частицы.
Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока (рис.46).

Течение жидкости называется установившимся (или стационарным), если форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.
Рассмотрим трубку тока рис. 46.
Предположим, что скорость жидкости в сечении трубки тока постоянна и не изменяется со временем.
Тогда за 1 с через пройдет объем жидкости
а через -
Если жидкость несжимаема, то
(29.1)

§ 30. Уравнение Бернулли
Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости (в которой отсутствуют силы внутреннего трения) трубку тока (рис. 47).

Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы т жидкости:
где — полные энергии жидкости массой т в местах сечений соответственно.
С другой стороны, А — это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями , за рассматриваемый малый промежуток времени .
(30.1)

Для перенесения массы m от до жидкость должна переместиться на расстояние и от до — на расстояние .
Отметим, что и настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис. 47, приписывают постоянные значения скорости v, давления р и высоты h. Следовательно,
(30.2)

Полные энергии и будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:
Подставляя (30.3) и (30.4) в (30.1) и приравнивая (30.1) и (30.2), получим
(30.3)
(30.4)
(30.5)

Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (29.1), объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т. е.
Разделив выражение (30.5) на получим
где — плотность жидкости.

Так как сечения выбирались произвольно, то можем записать
Выражение (30.6) называется уравнением Бернулли.
Это уравнение — выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости.
Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.
(30.6)

Величина р в формуле (30.6) называется статическим давлением (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела),
величина — динамическим давлением,
величина -- гидростатическим давлением.
Для горизонтальной трубки тока ( ) выражение (30.6) принимает вид
Величина называется полным давлением.
(30.7)

Из уравнения Бернулли (30.7) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (29.1) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше.

Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости (газа), то уравнение Бернулли позволяет измерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито — Прандтля (рис. 49).
— плотность жидкости в манометре.
- полное давление

Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса (рис. 50).
Таким образом
можно откачивать
воздух из сосуда
до давления
100 мм рт. ст.
(1 мм рт. ст. =133,32 Па).

Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда.
=
>>
~ 0

§ 31. Вязкость (внутреннее трение). Ламинарный и турбулентный режимы течений жидкостей
Вязкость (внутреннее трение) — это свойство реальных жидкостей оказывать сопротивление перемещению одной части жидкости относительно другой.
(31.1)
коэффициент пропорциональности
- динамическая вязкость
(или просто вязкость).

Единица вязкости — паскаль-секунда (Па·с):
1 Па⋅с равен динамической вязкости среды, в которой при ламинарном течении и градиенте скорости с модулем, равным 1 м/с на 1 м, возникает сила внутреннего трения в 1 Н на 1 м2 поверхности касания слоев (1 Па⋅с = 1 Н⋅с/м2).
Чем больше вязкость, тем сильнее жидкость отличается от идеальной, тем большие силы внутреннего трения в ней возникают.
Вязкость зависит от температуры, причем характер этой зависимости для жидкостей и газов различен (для жидкостей с увеличением температуры уменьшается, у газов, наоборот, увеличивается), что указывает на различие в них механизмов внутреннего трения.

Существует два режима течения жидкостей. Течение называется ламинарным (слоистым), если вдоль потока каждый выделенный тонкий слой скользит относительно соседних, не перемешиваясь с ними,
и турбулентным (вихревым), если вдоль потока происходит интенсивное вихреобразование и перемешивание жидкости (газа).
Ламинарное течение жидкости наблюдается при небольших скоростях ее движения.
Английский ученый О. Рейнольдс (в 1883 г. установил, что характер течения зависит от безразмерной величины, называемой числом Рейнольдса:

где — кинематическая вязкость; — плотность жидкости; — средняя по сечению трубы скорость жидкости; d — характерный линейный размер, например диаметр трубы.
При малых значениях числа Рейнольдса наблюдается ламинарное течение, переход от ламинарного течения к турбулентному происходит в области 1000 2000, а при Re=2300 (для гладких труб) течение — турбулентное.
Если число Рейнольдса одинаково, то режим течения различных жидкостей (газов) в трубах разных сечений одинаков.

Профили скорости течения жидкости при ламинарном и турбулентном режимах

§ 32. Методы определения вязкости
1. Метод Стокса.
На шарик, падающий в жидкости вертикально вниз, действуют три силы:
сила тяжести
сила Архимеда
сила сопротивления
эмпирически установленная Дж. Стоксом

При равномерном движении шарика
или
откуда
Измерив скорость равномерного движения шарика, можно определить вязкость жидкости (газа).

2. Метод Пуазейля
Рассмотрим капилляр радиусом R и длиной .
В жидкости мысленно выделим цилиндрический слой радиусом r и толщиной dr (рис. 54).
Сила внутреннего трения (см. (31.1)), действующая на боковую поверхность этого слоя,
где dS — боковая поверхность цилиндрического слоя; знак минус означает, что при возрастании радиуса скорость уменьшается.

Для установившегося течения жидкости сила внутреннего трения, действующая на боковую поверхность цилиндра, уравновешивается силой давления, действующей на его основание:
После интегрирования, полагая, что у стенок имеет место прилипание жидкости, т. е. скорость на расстоянии R от оси равна нулю, получим

Из полученного выражения видно, что скорости частиц жидкости распределяются по параболическому закону, причем вершина параболы лежит на оси трубы.

За время t из трубы вытечет жидкость, объем которой
откуда вязкость

§ 33. Движение тел в жидкостях и газах
Одной из важнейших задач аэро- и гидродинамики является исследование движения твердых тел в газе и жидкости.
На тело, движущееся в жидкости или газе, действуют две силы (равнодействующую их обозначим ), одна из которых (Rx) направлена в сторону, противоположную движению тела (в сторону потока),—лобовое сопротивление, а вторая (Ry) перпендикулярна этому направлению— подъемная сила (рис. 55).

Рис. 55
Величина К = Су/Сх, называемая качеством крыла