Оптика. Лекция 28. Дифракция света

Дифракция света –
это совокупность явлений,
наблюдаемых при распространении света
сквозь малые отверстия или
вблизи границ непрозрачных тел, обусловленных волновой природой света.
Дифракция – отклонение волны от прямолинейного распространения. Волна огибает край препятствия и заходит в область геометрической тени.

Особенности физической природы
интерференции и дифракции
интерференцией волн принято называть перераспределение интенсивности, возникающее в результате суперпозиции волн, возбуждаемых конечным числом дискретных когерентных источников.
дифракцией принято называть перераспределение интенсивности, возникающее в результате суперпозиции волн, возбуждаемых когерентными источниками, расположенными непрерывно.

Поэтому говорят, например, об интерференционной картине
от двух узких щелей
и
о дифракционной картине
от одной щели.

Дифракция на щели

Особенности возникновения
дифракции на щели
1. Дифракционные явления выражены тем отчетливее, чем меньше препятствие.
3. Чем больше отношение λ/a, тем расходимость волны будет больше.
2. Дифракция наиболее существенна в тех случаях, когда размер препятствия меньше или порядка длины волны.
a – ширина щели,
λ – длина световой волны.

Пояснение пункта №2. Чтобы зафиксировать отклонение световых лучей от прямолинейного распространения, экран должен находиться далеко.
Например:
a – ширина щели,
λ – длина световой волны

Что мы наблюдаем?
Мы наблюдаем дифракционную картину, представляющую собой
чередующиеся светлые и темные кольца,
которые являются
максимумами и минимумами интерференции.
Дифракция лазерного луча на отверстии шириной a = 2 мм

Принцип Гюйгенса
Каждая точка, до которой доходит волна, служит центром вторичных волн, а огибающая этих волн задает положение волнового фронта в следующий момент времени.
Принцип Гюйгенса-Френеля
Каждый элемент волновой поверхности S служит источником вторичных волн.
Амплитуда A вторичных волн пропорциональна величине элемента волновой поверхности dS.
Амплитуда вторичных волн зависит от угла наклона φ между нормалью к существующему участку вспомогательной поверхности и направлением в точку, для которой ведётся вычисление.
Все вторичные волны являются когерентными ввиду общности их происхождения от первичного источника.
Волновой процесс в окружающем пространстве есть результат интерференции вторичных волн.
Френель
Огюстен Жан
(1788 – 1827)

Окружим источник L воображаемой замкнутой поверхностью произвольной формы S.
Устраним источник L, а поверхность S будем рассматривать как светящуюся поверхность.
Излучение каждого элемента dS представим в виде сферической волны, приносящей колебания в точку B .
Амплитуды сферических волн A0 , будем считать пропорциональными элементам dS.
Фазы всех вспомогательных источников dS определяются возмущением, идущим из L, то они строго согласованы между собой, следовательно, вспомогательные источники dS когерентны.
Вычисляя результаты интерференции волн, посылаемые вспомогательными источниками, мы можем перейти к значению амплитуды (интенсивности) в точке B.

Метод Зон Френеля
Рассмотрим действие световой волны из точки S (источник) в какой-либо точке наблюдения M.
Согласно принципу Гюйгенса-Френеля заменим действие источника S действием воображаемых источников, расположенной на вспомогательной поверхности Ф.
В качестве вспомогательной поверхности Ф выберем поверхность фронта волны (поверхность сферы с центром в т. S)
Разобьём поверхность Ф на зоны такого размера, чтобы расстояния от краёв зоны до т. M отличались на λ/2.

Метод зон Френеля
Зона 1
Зона 2
Зона 3
Точечный источник
Находим амплитуду световой волны в точке M
Волновая поверхность (Ф)

Метод зон Френеля
Зона 1
Зона 2
Зона 3
Точечный источник
Находим амплитуду световой волны в точке P

Так как колебания от соседних зон проходят до точки M расстояния, отличающиеся на λ/2, то в точку M они приходят в противоположной фазе и при наложении эти колебания будут взаимно ослаблять друг друга.
Амплитуда результирующего светового колебания в точке M:
где A1, A2,… - амплитуды колебаний возбуждаемых 1-й, 2-й,… зонами.

Площади зон Френеля
m – номер зоны,
a – радиус волновой поверхности,
b – расстояние от вершины волновой поверхности P0 до точки M,
rm – радиус внешней границы зоны Френеля,
hm – высота сферического сегмента,
n – нормаль к поверхности зоны,
φm – угол между нормалью и направлением на M.
Из рисунка следует

Площадь сферического сегмента σm m-й зоны Френеля равны
Выражение не зависит от m, следовательно, при не слишком больших m площади зон Френеля одинаковы.
Таким образом, построение зон Френеля разбивает волновую поверхность сферической волны на равновеликие зоны.

Действие зон постепенно убывает от центральной к периферическим (с ростом m):
Общее число зон Френеля, умещающихся на полусфере, очень велико (N≈105 при a=b=10см и λ=0,5мкм), поэтому можно допустить, что амплитуда колебания Am от некоторой m-й зоны Френеля равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон
Действие отдельных зон на точку M тем меньше, чем больше угол φ между нормалью к поверхности зоны и направлением на M.

Тогда выражение
примет вид
Вывод: Амплитуда результирующих колебаний в произвольной точке M определяется как бы действием только половины центральной зоны Френеля.

Подставив сюда выражение
,
найдем радиус внешней границы m-й зоны Френеля:
a=b=10 см,
λ=0,5 мкм r1=0,158 мм.
Радиус внешней границы m-й зоны Френеля

Вывод: Распространение света от S к M происходит так, будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль SM, т.е. прямолинейно.
т.о., принцип Гюйгенса-Френеля
позволяет объяснить
прямолинейное распространение света.

Это стеклянные пластинки, состоящие из системы чередующихся прозрачных и непрозрачных концентрических колец, построенных по принципу расположения зон Френеля.
Для света длиной волны λ зонная пластинка (b) перекроет чётные зоны и оставит свободными нечётные, начиная с центральной. В результате этого результирующая амплитуда будет равна:
Через такую пластинку, до точки наблюдения, должно дойти почти в двое больше света, чем без неё.
Зонная пластинка увеличивает интенсивность в точке M, действуя подобно собирающей линзе.
Зонные пластинки

I. Дифракция Френеля
(дифракция в сходящихся лучах)
В этом случае на препятствие падает
сферическая или плоская волна,
а дифракционная картина наблюдается
на экране,
находящемся за препятствием
на конечном от него расстоянии.

Дифракция Френеля на круглом отверстии
S – точечный источник света,
b – расстояние от плоскости отверстия до экрана,
B – точка, лежащая на линии, соединяющей S и центр отверстия.
Разобьём открытую часть волновой поверхности на зоны Френеля.

Если отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то амплитуда (интенсивность) в точке B будет больше, чем при свободном распространении волны, если чётное, то амплитуда (интенсивность) равна нулю;
Выводы
Для малых значений m (с ростом m уменьшается A), получим

Если отверстие открывает одну зону Френеля, то амплитуда в точке B будет равна A1, т.е. вдвое больше, чем в отсутствие непрозрачного экрана с отверстием;

Дифракционная картина от круглого отверстия вблизи точки B будет иметь вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке B
если m четное, то в центре будет темное кольцо (б),
еcли m нечетное – то светлое кольцо (а).
Число открытых зон Френеля

Дифракция Френеля на диске
S – точечный источник света,
b – расстояние от диска до экрана,
B – точка, лежащая на линии, соединяющей S и центр диска.

Внимание! Закрытый диском участок волнового фронта надо исключить из рассмотрения и строить зоны Френеля, начиная с краёв диска.
Амплитуда результирующего колебания, возбуждаемого в точке B всеми зонами равна
или

В точке B всегда наблюдается
интерференционный максимум
(светлое пятно Пуассона), соответствующий
половине действия
первой открытой зоны Френеля.
Центральный максимум окружен
концентрическими темными и светлыми кольцами,
а интенсивность в максимумах
убывает с расстоянием от центра картины.
Вывод.

С увеличением диаметра диска первая открытая зона Френеля удаляется от точки B и увеличивается угол φ между нормалью к поверхности этой зоны и направлением на точку B.
В результате интенсивность центрального максимума с увеличением размеров диска уменьшается.
Диаметр и яркость пятна Пуассона увеличиваются при уменьшении диаметра диска.

Наблюдается в том случае,
когда источник света и точка наблюдения бесконечны удалены
от препятствия, вызвавшего дифракцию.
II. Дифракция Фраунгофера
(дифракция в параллельных лучах)
Чтобы осуществить этот тип дифракции,
достаточно направить на
«бесконечно» длинную щель (длина больше ширины)
плоскую световую волну,
а дифракционную картину
исследовать в фокальной плоскости
второй собирающей линзы,
установленной за препятствием.
Фраунгофер Йозеф
(1787 – 1826)

Пусть плоская монохроматическая световая волна падает нормально плоскости узкой щели шириной a.
Согласно принципу Гюйгенса – Френеля, каждая точка щели является источником вторичных когерентных волн.
Открытую часть волновой поверхности в плоскости щели MP разбивают на зоны Френеля, имеющие вид полос, параллельных ребру M щели.
Амплитуды вторичных волн в плоскости щели будут раны, т.к. зоны Френеля имеют одинаковые площади и одинаково наклонены к направлению наблюдения.

Оптическая разность хода ΔL между крайними лучами MC и PD, идущими от щели в произвольном направлении φ
Ширина каждой зоны выбирается так, чтобы разность хода от краев этих зон была равна λ/2, т.е. всего на ширине щели уместится зон.
Следовательно, что число зон Френеля, укладывающихся на ширине щели а, зависит от угла φ.

Если число зон Френеля чётное, то
В точке B наблюдается дифракционный минимум (полная темнота)
Если число зон Френеля нечётное, то
В точке B наблюдается дифракционный максимум

Дифракция Фраунгофера на одной щели

Дифракционный спектр от одной щели
Для белого света
Для красного света
Для фиолетового света
- дифракционный максимум

1. Из формулы для дифракционного минимума
следует, что с уменьшением ширины щели a центральная светлая полоса расширяется, а интенсивность уменьшается
(интенсивность уменьшается, т.к. уменьшается энергия проходящая через уменьшающуюся щель).
Всё сказанное относится и к другим максимумам.
2. Положение дифракционных максимумов зависит от длины волны λ.
3. При a>>λ в центре получается резкое изображение источника света.

При освещении щели белым светом центральный максимум наблюдается в виде белой полоски, переходящей в цветную каёмку. Он общий для всех длин волн (при разность хода равна нулю для всех λ). Боковые максимумы расплывчато радужно окрашены, фиолетовым краем к центру дифракционной картины.
5. При помощи дифракции на 1 щели спектрального разложения по длинам волн получить нельзя.

Дифракционная решётка
Это оптический прибор, позволяющий получать разложение света на спектральные составляющие и измерять длины волн.
d – период решетки, d=a+b,
a – ширина щели,
b – ширина непрозрачного участка,
Дифракционные решётки
Прозрачные;
Отражательные.

Дифракция Фраунгофера
на дифракционной решетке
В дифракционной решетке осуществляется многолучевая интерференция
когерентных дифрагированных пучков света.
На дифракционную решетку падает плоская монохроматическая волна

Т.к. щели находятся друг от друга на одинаковых расстояниях, то разности хода лучей, идущих от двух соседних щелей, будут для данного направления φ одинаковы в пределах всей дифракционной решетки:
В направлениях, в которых ни одна из щелей не распространяет свет, он не будет распространяться и при двух щелях, т.е. прежние главные минимумы интенсивности будут наблюдаться в направлениях, определяемых условием (8)

Но в дифракционной решетке возникнут дополнительные минимумы, так как вследствие взаимной интерференции световых лучей, посылаемых двумя щелями, в некоторых направлениях они будут гасить друг друга:

Наоборот, действие одной щели будет усиливать действие другой, если
Это условие главных максимумов.
Максимумов нулевого порядка только один, максимумов 1-го, 2-го и т.д. порядков
имеется по два.

Максимумы первых двух порядков

Дифракционный спектр — равномерный во всех областях и располагается в порядке возрастания длин волн: от фиолетового к красному
Дифракционная решетка разлагает падающий свет непосредственно по длинам волн, поэтому по измеренным углам (по направлениям соответствующих максимумов) можно вычислить длину волны.

перья птиц;
крылья бабочек;
перламутровая поверхность морской раковины;
компакт-диск (дорожки на поверхности диска образуют отражательную дифракционную решётку);
Если, прищурившись, посмотреть на солнечный свет, то можно увидеть радужную окраску вокруг ресниц. Наши ресницы действуют в данном случае как прозрачная дифракционная решётка
Примеры дифракционных решёток

Дифракция лазерного луча
на дифракционной решетке

Дифракция белого света
на дифракционной решетке

Дифракция
на компакт-диске
(отражательная дифракционная решетка)

Почему свет распространяется
только в одну сторону?
Вторичные волны, интерферируя,
усиливают друг друга на огибающей
своих волновых поверхностей
в направлении «вперёд»,
обеспечивая дальнейшее распространение волны.
А в направлении «назад» происходит их интерференция с исходной волной,
наблюдается взаимное гашение,
и обратная волна не возникает.