Применение векторов при решении задач и доказательстве теорем

ВВЕДЕНИЕ 3
1 КРАТКАЯ ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА 4
2 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ 5
2.2. ВЕКТОРЫ 5
3 КООРДИНАТЫ 7
4 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ВЕКТОРОВ И СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 8
4.2 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕКОТОРЫХ ТЕОРЕМ 8
4.3 НАХОЖДЕНИЕ РАССТОЯНИЙ И УГЛОВ 9
5 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КООРДИНАТ 10
5.2 ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЯ 10
5.3 ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЯ РАССТОЯНИЙ И УГЛОВ 12
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 14
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 15
Содержание

Учёные всегда стремились упростить себе жизнь – придумывали новые, простые методы решения, универсальные для множества задач, позволяющие быстро решить даже самую трудную задачу. Именно таким методом и является векторно-координатный.
«Векторный» путь построения геометрии предложил в 1918 году известный немецкий математик Герман Вейль. Векторы можно использовать как для решения планиметрических задач, так и для стереометрических.
Векторно-координатный метод решения задач позволяет с лёгкостью решать даже самые большие и сложные задачи, избегать долгих доказательств теорем. С помощью векторов можно вычислять расстояния и углы, доказывать теоремы, строить перпендикулярные и параллельные прямые и отрезки, строить сечения, доказывать равенство геометрических фигур и многое другое.
В настоящее время векторно-координатный метод используется в алгебре, геометрии, физике, механике; понятие векторного пространства используется в теории вероятностей, математической экономике, биологии, лингвистике и т.д.
3
ВВЕДЕНИЕ

Интерес к векторам и векторному исчислению пробудился у математиков в XIX веке в связи с потребностями механики и физики. Однако истоки исчисления с направленными отрезками возникли в далеком прошлом. В Древней Греции пифагорейцы, открыв иррациональные числа, которые нельзя выразить дробями (например:√2, √5), не решились ввести более широкое толкование числа. Математики того времени попытались свести вопросы арифметики и алгебры к решению задач геометрическим путем. Таким образом, было положено начало геометрической теории отношений Евдокса (408-355 гг. до н.э.), а позднее «геометрической алгебре». В геометрическом исчислении, изложенном, а труде Евклида «Начала», сложения и вычитания сводились к сложению и вычитанию отрезков, а умножение - к построению прямоугольников на отрезках, соответствующих по длине множителям.
Термин «вектор» происходит от латинского слова vector, что означает несущий или ведущий, влекущий, переносящий
В современной математике раздел, в котором излагается учение о действиях над векторами, называют векторной алгеброй, так как эти действия имеют много общих свойств с алгебраическими действиями. 4
КРАТКАЯ ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

2.2. ВЕКТОРЫ
Вектор-это отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом. Направление вектора на рисунке (от начала к концу) отмечается стрелкой.(рисунок 1)
5
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
Рисунок 1 - Изображение вектора
Любая точка пространства также может считаться вектором. В таком случае вектор называется нулевым. Начало и конец этого вектора совпадают.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
Рисунок 2 - Изображение правила треугольника
Рисунок 3 - Изображение правила параллелограмма
Рисунок 4 - Изображение правила многоугольника
Рисунок 5 - Изображения правила параллелепипеда 6

Если через некоторую точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что выбрана прямоугольная система координат в пространстве. Прямые с выбранными направлениями называются осями координат, а их общая точка – началом координат. Она обычно обозначается буквой О. Оси обозначаются так: Ох, Оу, Оz – и имеют названия: «ось абсцисс», «ось ординат», «ось аппликат». Вся система координат называется Oxyz. Три плоскости, проходящие через оси координат называются координатными плоскостями. Точка О разделяет каждую из осей координат на на два дополнительных луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а дополнительный к нему луч – отрицательной полуосью.
7
КООРДИНАТЫ

4.2 Доказательство некоторых теорем
Пусть точки А, В, С и Р такие, что ОР=mOA+nOB+рОС (OА, ОС и ОВ линейно независимы).Тогда необходимое и достаточное условие их принадлежности одной прямой состоит в следующем: m+n+р=1. (рис 7)
8
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ВЕКТОРОВ
Пусть точки А, В, С и Р лежат в одной плоскости, тогда векторы
АР=ОР-ОА, АВ=ОВ-ОА, АС=ОС-ОА будут линейно зависимыми, следовательно
ОР-ОА=n(OB-OA)+p(OC-OA),
OP=(1- n- p)OA+nOB+pOC. И в силу единственности разложения вектора OP по векторам ОА, ОВ, ОС получим
m=1- n –p или m+ n+ p=1
Доказательство достаточности:
Пусть m+n+p=1, тогда
OP-OA=mOA+nOB+pOC-OA=mOA+nOB+pOC-(m+n+p)*OA=n(OB-OA)+p(OC-OA)
Отсюда АР=nAB+pAС и по определению P принадлежит плоскости АВС.
Рисунок 7 - Изображение фигуры

4.3 Нахождение расстояний и углов
На рёбрах DA,DB,AC тетраэдра DABC взяты соответственно точки L, N, F так, что DL=1/2DA,DN=1/3DB,AF=1/4AC. В каком отношении плоскость, проходящая через точки L,N,F делит ребро BC? (рис 8)
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ВЕКТОРОВ
Решение:
Пусть М – точка пересечения рассматриваемой плоскости с ребром BC и
DA=a, DB=b, DC=c.
Так как точки M,N,L,F лежат в одной плоскости, причём последние три точки не лежат на одной прямой, то по формуле
DM=kDL+lDN+(1 – k – l)DF=ka/2+lb/3+(1 – k – l)(3/4a+1/4c).
С другой стороны, по формуле (1)
DM=(1-m)b+mc
где m – отношение ВМ:ВС. Так как векторы а,b,с не компланарны, то на основании утверждения о разложении вектора по трём некомпланарным, мы получим систему:
k/2+(1 – k – l)3/4=0, l/3=1 – m,
(1 – k – l)1/4=m. 9
Отсюда m=2/5 и ВМ:МС=2/3.
Рисунок 8 - Изображение фигуры

5.2 Задачи на построения
Вершина В прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1 с отношением рёбер AB:DA:AA1=1:2:3 принята за начало прямоугольной системы координат, а
векторы ВА, 1/2ВС и 1/3ВВ1 приняты соответственно за единичные векторы i, j, k.
Построить сечение параллелепипеда плоскостью α , заданной в этой системе координат уравнением 4x + y - 2z - 2=0. (рис 9)
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КООРДИНАТ
Рисунок 9 - Изображение фигуры
Для построения данного сечения найдём три точки, принадлежащие плоскости α, но не лежащие на одной прямой, например, точки пересечения плоскости α с осями координат. Так, если плоскость α пересекает ось Вх в точке К, то точка К имеет координаты (к;0;0). Подставляя эти координаты в уравнение плоскости α ,получим к=1/2. Таким образом, плоскость α пересекает ось Вх в точке К(1/2;0;0). Построим эту точку.
10

Аналогично если плоскость α пересекает ось Ву в точке L, то точка L имеет координаты (0;l;0). Подставляя эти координаты в уравнение плоскости α , найдем, что L(0;2;0). Построим точку L (она совпала с точкой С).
Точно так же находим, что плоскость α пересекает ось Вz в точке М(0;0;-построим эту точку и затем построим сечение призмы плоскостью α, проходящей через точки К,L,M. Получаем четырёхугольник КСD2A2.
11
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КООРДИНАТ

5.3 Задачи на вычисления расстояний и углов
В основании пирамиды МАВС лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С. каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол, равный 45 гр. На ребре МВ взята точка К – середина этого ребра. Найдём угол между прямой АК и плоскостью МВС. (рис 10)
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КООРДИНАТ
Установив, что медианно МО грани МАВ является высотой пирамиды, т.е. МО┴АВ и МО┴ОС, и что ОА =ОС=ОМ, зададим в пространстве прямоугольную систему координат Охуz, как показано на рисунке.
OA=i ; OC=j ; OM=k
В этой системе координат O(0;0;0), A(1;0;0), C(0;1;0), M(0,0,1)
Находим далее координаты точек В и К, вектора АК, коллинеарного прямой АК, и
12

векторов ВС и ВМ. Получаем B(-1;0;0;), K(-1/2;0;1/2), AK(-3/2;0;1/2), BC(1;1;0), BM (1;0;1).
Если вектор n(k;l;m) перпендикулярен плоскости МВС, то n┴BC и n┴BM, или в координатах:
k*1+l*1+m*0=0
k*1+l*0+m*1=0
откуда, полагая, например, что k=1, находим, что l=-1, m=-1, т.е. n(1;-1;-1).
Пусть φ – это искомый угол. Тогда
13
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КООРДИНАТ
Рисунок 11 - продолжение решения задачи
Таким образом, угол между прямой АК и плоскостью МВС равен arcsin (2√30)/15 Содержание

Обобщая вышеизложенные доводы, мы удостоверились, что использование векторно-координатного метода позволяет с лёгкостью решать множество задач самых разных видов, избегать больших доказательств теорем. Решение таким методом задачи, помогает сэкономить время и силы. Такое решение задач хорошо тем, что человек не механически действует по образцу решения задач данного типа, повторяя одни и те же действия, а творчески подходит к работе.
14
ЗАКЛЮЧЕНИЕ