10u-8_С -I_функции

Программирование на языке C++
§ 54. Простейшие программы

Простейшая программа
int main()
{
// это основная программа
/* здесь записывают
операторы */
}
это основная программа
комментарии после //
не обрабатываются
это тоже комментарий
результат – целое число

Вывод на экран
int main()
{
cout << "2+";
cout << "2=?\n"; cout << "Ответ: 4";
}
Протокол:
2+2=?
Ответ: 4
"\n" – новая строка

Подключение библиотечных функций
#include
using namespace std;
int main()
{
cout << "2+";
cout << "2=?\n";
cout << "Ответ: 4";
cin.get();
}
стандартные потоки ввода и вывода
ждать нажатия любой клавиши
стандартное пространство имен
character input – входной поток [символов] c консоли

Если не подключить пространство имён…
#include
int main()
{
std::cout << "2+";
std::cout << "2=?\n";
std::cout << "Ответ: 4";
std::cin.get();
}
пространство имен std

Вывод в поток
cout << "2+" << "2=?" << "\n"
<< "Ответ: 4";
cout << "2+" << "2=?" << endl
<< "Ответ: 4";
end of line – конец строки

Задания
«B»: Вывести на экран текст «лесенкой»
Вася
пошел
гулять
«C»: Вывести на экран рисунок из букв
Ж
ЖЖЖ
ЖЖЖЖЖ
ЖЖЖЖЖЖЖ
HH HH
ZZZZZ

Сложение чисел
Задача. Ввести с клавиатуры два числа и найти их сумму.
Протокол:
Введите два целых числа
25 30
25+30=55
компьютер
пользователь
компьютер считает сам!

Сумма: псевдокод
int main()
{
// ввести два числа
// вычислить их сумму
// вывести сумму на экран
}
Псевдокод – алгоритм на русском языке с элементами языка программирования.

Переменные
Переменная – это величина, имеющая имя, тип и значение. Значение переменной можно изменять во время работы программы.
a
Значение
Имя
Другой тип данных

Имена переменных
МОЖНО использовать
латинские буквы (A-Z, a-z)
цифры
знак подчеркивания _
заглавные и строчные буквы различаются
НЕЛЬЗЯ использовать
русcкие буквы
скобки
знаки +, =, !, ? и др.
имя не может начинаться с цифры
Какие имена правильные?
AXby R&B 4Wheel Вася “PesBarbos” TU154 [QuQu] _ABBA A+B

Объявление переменных
int a, b, c;
выделение места в памяти
тип – целые
список имен переменных
int a, b = 1, c = 55;
Начальные значения:
«мусор»!
не использовать!

Типы данных
int // целое
long int // длинное целое
float // вещественное
double // веществ. двойной точности
bool // логические значения
char // символ
string // символьная строка
и др.

Тип переменной
область допустимых значений
допустимые операции
объём памяти
формат хранения данных
для предотвращения случайных ошибок

Как записать значение в переменную?
a = 5;
оператор присваивания
5
Оператор – это команда языка программирования (инструкция).
Оператор присваивания – это команда для записи нового значения в переменную.
a

Ввод значения с клавиатуры
5
a
cin >> a;
ввести значение a из входного потока

Ввод значений двух переменных
через пробел:
25 30
через Enter:
25
30
cin >> a >> b;

Изменение значений переменной
int a, b;
a = 5;
b = a + 2;
a = (a + 2)*(b – 3);
b = b + 1;
a
?
5
5
b
?
5+2
7
a
5
7*4
28
b
7
7+1
8

Вывод данных
//вывод значения //переменной a
//...и переход
//на новую строку
cout << a;
cout << a << endl;
//вывод текста
//вывод текста и значения переменной c
cout << "Привет!";
cout << "Ответ: " << c;
cout << a << "+" << b << "=" << c;

Сложение чисел: простое решение
#include
using namespace std;
int main()
{
int a, b, c;
cin >> a >> b;
c = a + b;
cout << c;
}
далее эта «шапка» в слайдах не повторяется

Сложение чисел: полное решение
int a, b, c;
cout << "Введите два целых числа\n";
cin >> a >> b;
c = a + b;
cout << a << "+" << b << "=" << c;
Протокол:
Введите два целых числа
25 30
25+30=55
компьютер
пользователь
подсказка

Снова про оператор вывода
#include
...
a = 123;
cout << setw(5) << a;
Форматный вывод:
Вычисление выражений:
cout << a << "+" << b << "=" << a+b;
a+b
манипуляторы для управления потоками
set width – установить ширину поля

Программирование на языке C++
§ 55. Вычисления

Арифметическое выражения
a = (c + b*5*3 - 1) / 2 * d;
Приоритет (старшинство):
скобки
умножение и деление
сложение и вычитание
1
2
3
4
5
6

Деление
Результат деления целого на целое – целое число (остаток отбрасывается):
int a = 3, b = 4;
float x;
x = 3 / 4; // = 0
x = 3. / 4; // = 0.75
x = 3 / 4.; // = 0.75
x = a / 4; // = 0
x = a / 4.; // = 0.75
x = a / b; // = 0
x = float(a) / 4; // = 0.75
x = a / float(b); // = 0.75

Остаток от деления
% – остаток от деления
int a, b, d;
d = 85;
b = d / 10; // 8
a = d % 10; // 5
d = a % b; // 5
d = b % a; // 3
Для отрицательных чисел:
int a = -7;
b = a / 2; // -3
d = a % 2; // -1
-7 = (-4)*2 + 1
остаток ≥ 0

Сокращенная запись операций
int a, b;
...
a ++; // a = a + 1;
a --; // a = a – 1;
a += b; // a = a + b;
a -= b; // a = a - b;
a *= b; // a = a * b;
a /= b; // a = a / b;
a %= b; // a = a % b;

Вещественные числа
Форматы вывода:
float x = 123.456;
cout.width(10);
cout.precision(5);
cout << x << endl;
cout.width(10);
cout.precision(2);
cout << x << endl;
5 значащих цифр
1,2 ⋅ 102
всего 10 знаков

Вещественные числа
Формат с фиксированной точкой:
#include
...
float x = 123.4567890123;
cout << fixed << setprecision(3)
<< x;
123.456
в дробной части
фиксированный

Вещественные числа
Экспоненциальный (научный) формат:
float x;
x = 1./30000;
cout << x;
x = 12345678.;
cout << x;
3.33333e-005
1.23457e+007
3,33333 ⋅ 10–5
float x = 123.456;
cout.width(10);
cout.precision(2);
cout << scientific << x;
1,23457 ⋅ 107
в дробной части
научный

Стандартные функции
abs(x) — модуль целого числа
fabs(x) — модуль вещественного числа
sqrt(x) — квадратный корень
sin(x) — синус угла, заданного в радианах
cos(x) — косинус угла, заданного в радианах
exp(x) — экспонента ех
ln(x) — натуральный логарифм
pow(x,y) — xy: возведение числа x в степень y
floor(x) — округление «вниз»
ceil(x) — округление «вверх»
#include <сmath>
подключить математическую библиотеку
float x;
x = floor(1.6);// 1
x = ceil(1.6); // 2
x = floor(-1.6);//-2
x = ceil(-1.6); //-1

Случайные числа
Случайно…
встретить друга на улице
разбить тарелку
найти 10 рублей
выиграть в лотерею
Случайный выбор:
жеребьевка на соревнованиях
выигравшие номера
в лотерее
Как получить случайность?

Случайные числа на компьютере
Электронный генератор
нужно специальное устройство
нельзя воспроизвести результаты
318458191041
564321
209938992481
458191
938992
малый период
(последовательность повторяется через 106 чисел)
Метод середины квадрата (Дж. фон Нейман)
в квадрате
Псевдослучайные числа – обладают свойствами случайных чисел, но каждое следующее число вычисляется по заданной формуле.
зерно

Линейный конгруэнтный генератор
X = (a*X+b) % c | интервал от 0 до c-1
X = (X+3) % 10 | интервал от 0 до 9
X = 0
зерно
→ 3
→ 6
→ 9
→ 2
→ 5
→ 8
→ 0
зацикливание
8
→ 1
→ 4
→ 7
Компилятор GCC:
a = 1103515245
b = 12345
c = 231

Генератор случайных чисел
Генератор на отрезке [0,RAND_MAX]:
int X, Y;
X = rand(); // псевдослучайное число
Y = rand() // это уже другое число!
англ. random – случайный
Целые числа на отрезке [a,b]:
int X, Y;
X = a + rand() % (b - a + 1);
Y = a + rand() % (b - a + 1);
#include
rand() % (b - a + 1);
[0,b-a]

Задачи
«A»: Ввести с клавиатуры три целых числа, найти их сумму, произведение и среднее арифметическое.
Пример:
Введите три целых числа:
5 7 8
5+7+8=20
5*7*8=280
(5+7+8)/3=6.667
«B»: Ввести с клавиатуры координаты двух точек (A и B) на плоскости (вещественные числа). Вычислить длину отрезка AB.
Пример:
Введите координаты точки A:
5.5 3.5
Введите координаты точки B:
1.5 2
Длина отрезка AB = 4.272

Задачи
«C»: Получить случайное трехзначное число и вывести через запятую его отдельные цифры.
Пример:
Получено число 123.
Его цифры 1, 2, 3.

Программирование на языке C++
§ 56. Ветвления

Условный оператор
Задача: изменить порядок действий в зависимости от выполнения некоторого условия.
полная форма ветвления
if ( a > b )
M = a;
else
M = b;

Условный оператор: неполная форма
неполная форма ветвления
M = a;
if ( b > a )
M = b;

Условный оператор
if ( a < b )
{
с = a;
a = b;
b = c;
}
4
6
?
4
6
4
a
b
3
2
1
c
{
с = a;
a = b;
b = c;
}
блок (составной оператор)

Знаки отношений
>
<
>=
<=
==
!=
больше, меньше
больше или равно
меньше или равно
равно
не равно

Вложенные условные операторы
if ( a == b )
cout << "Одного возраста";
else
if ( a > b )
cout << "Андрей старше";
else
cout << "Борис старше";
вложенный условный оператор
Задача: в переменных a и b записаны возрасты Андрея и Бориса. Кто из них старше?

Задачи
«A»: Ввести три целых числа, найти максимальное из них.
Пример:
Введите три целых числа:
1 5 4
Максимальное число 5
«B»: Ввести пять целых чисел, найти максимальное из них.
Пример:
Введите пять целых чисел:
1 5 4 3 2
Максимальное число 5

Задачи
«C»: Ввести последовательно возраст Антона, Бориса и Виктора. Определить, кто из них старше.
Пример:
Возраст Антона: 15
Возраст Бориса: 17
Возраст Виктора: 16
Ответ: Борис старше всех.
Пример:
Возраст Антона: 17
Возраст Бориса: 17
Возраст Виктора: 16
Ответ: Антон и Борис старше Виктора.

Сложные условия
Задача: набор сотрудников в возрасте 25-40 лет (включительно).
if ( ) cout << "подходит";
else
cout << "не подходит";
&&
||
!
Приоритет :
отношения (<, >, <=, >=, ==, !=)
! («НЕ»)
&& («И»)
|| («ИЛИ»)
v >= 25 && v <= 40
сложное условие
«И»
«ИЛИ»
«НЕ»

Задачи
«A»: Напишите программу, которая получает три числа и выводит количество одинаковых чисел в этой цепочке.
Пример:
Введите три числа:
5 5 5
Все числа одинаковые.
Пример:
Введите три числа:
5 7 5
Два числа одинаковые.
Пример:
Введите три числа:
5 7 8
Нет одинаковых чисел.

Задачи
«B»: Напишите программу, которая получает номер месяца и выводит соответствующее ему время года или сообщение об ошибке.
Пример:
Введите номер месяца:
5
Весна.
Пример:
Введите номер месяца:
15
Неверный номер месяца.

Задачи
«C»: Напишите программу, которая получает возраст человека (целое число, не превышающее 120) и выводит этот возраст со словом «год», «года» или «лет». Например, «21 год», «22 года», «25 лет».
Пример:
Введите возраст: 18
Вам 18 лет.
Пример:
Введите возраст: 21
Вам 21 год.
Пример:
Введите возраст: 22
Вам 22 года.

Задачи
«A»: Напишите условие, которое определяет заштрихованную область.
«B»: Напишите условие, которое определяет заштрихованную область.

Задачи
«C»: Напишите условие, которое определяет заштрихованную область.

Множественный выбор
if (m == 1) cout << "январь";
if (m == 2) cout << "февраль";
...
if (m == 12) cout << "декабрь";
switch ( m ) {
case 1: cout << "январь";
break;
case 2: cout << "февраль";
break;
...
case 12: cout << "декабрь";
break;
default: cout << "ошибка";
}

Множественный выбор
switch ( m ) {
case 1: cout << "январь"; case 2: cout << "февраль";
case 3: cout << "март";
default: cout << "ошибка";
}
Если не ставить break:
февральмартошибка
При m = 2:

Множественный выбор
char c;
c = getch();
switch(c)
{
case 'а':
cout << "антилопа\n"; cout << "Анапа\n";
break;
...
case 'я':
cout << "ягуар\n";
cout << "Якутск\n";
break;
default: cout << "Ошибка!";
}
несколько операторов в блоке
ждать нажатия клавиши, получить её код

Программирование на языке C++
§ 57. Циклические алгоритмы

Что такое цикл?
Цикл – это многократное выполнение одинаковых действий.
Два вида циклов:
цикл с известным числом шагов (сделать 10 раз)
цикл с неизвестным числом шагов (делать, пока не надоест)
Задача. Вывести на экран 10 раз слово «Привет».

Повторения в программе
cout << "Привет\n";
cout << "Привет\n";
...
cout << "Привет\n";

Блок-схема цикла
начало
конец
да
нет
тело цикла

Как организовать цикл?
счётчик = 0
пока счётчик < 10
cout << "Привет\n";
увеличить счётчик на 1
счётчик = 10
пока счётчик > 0
cout << "Привет\n";
уменьшить счётчик на 1
✔
результат операции автоматически сравнивается с нулём!

Цикл с условием
Задача. Определить количество цифр в десятичной записи целого положительного числа, записанного в переменную n.
счётчик = 0
пока n > 0
отсечь последнюю цифру n
увеличить счётчик на 1
n = n / 10;
счётчик = счётчик + 1;
счётчик ++;

Цикл с условием
count = 0;
while ( )
{
}
n = n / 10;
count ++;
тело цикла
начальное значение счётчика
n > 0
условие продолжения
заголовок цикла
конец цикла

Цикл с условием
k = 0;
while ( k < 10 )
{ cout << "привет\n";
k ++;
}
При известном количестве шагов:
k = 0;
while ( k < 10 )
{
cout << "привет\n";
}
Зацикливание:

Сколько раз выполняется цикл?
a = 4; b = 6;
while ( a < b ) a = a + 1;
2 раза
a = 6
a = 4; b = 6;
while ( a < b ) a = a + b;
1 раз
a = 10
a = 4; b = 6;
while ( a > b ) a ++;
0 раз
a = 4
a = 4; b = 6;
while ( a < b ) b = a - b;
1 раз
b = -2
a = 4; b = 6;
while ( a < b ) a --;
зацикливание

Цикл с постусловием
do
{
}
while ( n <= 0 );
условие продолжения
заголовок цикла
cout << "Введите n > 0: ";
cin >> n;
тело цикла
при входе в цикл условие не проверяется
цикл всегда выполняется хотя бы один раз

Задачи
«A»: Напишите программу, которая получает два целых числа A и B (0 < A < B) и выводит квадраты всех натуральных чисел в интервале от A до B.
Пример:
Введите два целых числа:
10 12
10*10=100
11*11=121
12*12=144
«B»: Напишите программу, которая получает два целых числа и находит их произведение, не используя операцию умножения. Учтите, что числа могут быть отрицательными.
Пример:
Введите два числа:
10 -15
10*(-15)=-150

Задачи
«C»: Ввести натуральное число N и вычислить сумму всех чисел Фибоначчи, меньших N. Предусмотрите защиту от ввода отрицательного числа N.
Пример:
Введите число N:
10000
Сумма 17710

Задачи-2
«A»: Ввести натуральное число и найти сумму его цифр.
Пример:
Введите натуральное число:
12345
Сумма цифр 15.
«B»: Ввести натуральное число и определить, верно ли, что в его записи есть две одинаковые цифры, стоящие рядом.
Пример:
Введите натуральное число:
12342
Нет.
Пример:
Введите натуральное число:
12245
Да.

Задачи-2
«C»: Ввести натуральное число и определить, верно ли, что в его записи есть две одинаковые цифры (не обязательно стоящие рядом).
Пример:
Введите натуральное число:
12342
Да.
Пример:
Введите натуральное число:
12345
Нет.

Программирование на языке C++
§ 58. Циклы по переменной

Цикл по переменной
Задача. Вывести все степени двойки от 21 до 210.
n = 2;
while ( )
{
cout << n << endl;
n *= 2;
}
k = 1;
k <= 10
k ++;
n = 2;
for( )
{
cout << n << endl;
n *= 2;
}
k=1; k<=10; k++
цикл с переменной

Цикл по переменной: другой шаг
for ( int k = 10; k >= 1; k-- )
cout << k*k << endl;
100
81
64
49
36
25
16
9
4
1
for ( int k = 1; k <= 10; k += 2 )
cout << k*k << endl;
1
9
25
49
81
это внутренняя переменная цикла

Сколько раз выполняется цикл?
int a = 1;
for( int i = 1; i <= 3; i++ ) a = a + 1;
a = 4
int a = 1;
for( int i = 3; i <= 1; i++ ) a = a + 1;
a = 1
int a = 1;
for( int i = 1; i <= 3; i-- ) a = a + 1;
зацикливание
int a = 1;
for( int i = 3; i >= 1; i-- ) a = a + 1;
a = 4

Задачи
«A»: Найдите все пятизначные числа, которые при делении на 133 дают в остатке 125, а при делении на 134 дают в остатке 111.
«B»: Натуральное число называется числом Армстронга, если сумма цифр числа, возведенных в N-ную степень (где N – количество цифр в числе) равна самому числу. Например, 153 = 13 + 53 + 33. Найдите все трёхзначные Армстронга.

Задачи
«С»: Натуральное число называется автоморфным, если оно равно последним цифрам своего квадрата. Например, 252 = 625. Напишите программу, которая получает натуральное число N и выводит на экран все автоморфные числа, не превосходящие N.
Пример:
Введите N:
1000
1*1=1
5*5=25
6*6=36
25*25=625
76*76=5776

Вложенные циклы
Задача. Вывести все простые числа в диапазоне
от 2 до 1000.
сделать для n от 2 до 1000
если число n простое то
вывод n
число n простое
нет делителей [2.. n-1]: проверка в цикле!

Вложенные циклы
for ( int n = 2; n <= 1000; n ++ )
{
count = 0;
if ( count == 0 )
cout << n << endl;
}
for ( int k = 2; k < n; k ++ )
if ( n % k == 0 )
count ++;
вложенный цикл

Вложенные циклы
for ( int i = 1; i <= 4; i++ )
{
for ( int k = 1; k <= i; k++ )
{
cout << i << " " << k
<< endl;
}
}
1 1
2 1
2 2
3 1
3 2
3 3
4 1
4 2
4 3
4 4

Поиск простых чисел – как улучшить?
int count = 0;
int k = 2;
while ( )
{
if ( n % k == 0 ) count ++;
k ++;
}
while( k <= sqrt(n) )
{
...
}
while ( k*k <= n && count == 0 ) {
...
}
k*k <= n
(count == 0)

Задачи
«A»: Напишите программу, которая получает натуральные числа A и B (A выводит все простые числа в интервале от A до B.
Пример:
Введите границы диапазона:
10 20
11 13 17 19
«B»: В магазине продается мастика в ящиках по 15 кг,
17 кг, 21 кг. Как купить ровно 185 кг мастики, не вскрывая ящики? Сколькими способами можно это сделать?

Задачи
«C»: Ввести натуральное число N и вывести все натуральные числа, не превосходящие N и делящиеся на каждую из своих цифр.
Пример:
Введите N:
15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 15

Программирование на языке C++
§ 59. Процедуры

Зачем нужны процедуры?
cout << "Ошибка программы";
много раз!
int main()
{
int n;
cin >> n;
if ( n < 0 ) Error();
...
}
вызов процедуры
void Error()
{
cout << "Ошибка программы";
}
void – пустой, нет результата

Что такое процедура?
Процедура – вспомогательный алгоритм, который выполняет некоторые действия.
в момент вызова процедура должна уже быть известна (например, расположена до основной программы)
в программе может быть много процедур
чтобы процедура заработала, нужно вызвать её по имени из основной программы или из другой процедуры

Процедура с параметрами
Задача. Вывести на экран запись целого числа (0..255) в 8-битном двоичном коде.
много раз!
Алгоритм:
178
⇒
101100102
7 6 5 4 3 2 1 0
1 0 1 1 0 0 1 02
разряды
n=
n / 128
n % 128
n1 / 64

Процедура с параметрами
Задача. Вывести на экран запись целого числа (0..255) в 8-битном двоичном коде.
Решение:
int k = 128;
while ( k > 0 )
{
cout << n / k;
n = n % k;
k = k / 2;
}
178
⇒
10110010

Процедура с параметрами
int main()
{
printBin( 99 );
}
значение параметра (аргумент)
void printBin( int n )
{
int k;
k = 128;
while ( k > 0 )
{
cout << n / k;
n = n % k;
k = k / 2;
}
}
Параметры – данные, изменяющие работу процедуры.
локальные переменные

Несколько параметров
void printSred ( int a, int b )
{
cout << (a+b)/2.;
}

Задачи
«A»: Напишите процедуру, которая принимает параметр – натуральное число N – и выводит на экран линию из N символов '–'.
Пример:
Введите N:
10
----------
«B»: Напишите процедуру, которая выводит на экран в столбик все цифры переданного ей числа, начиная с первой.
Пример:
Введите натуральное число:
1234
1
2
3
4

Задачи
«C»: Напишите процедуру, которая выводит на экран запись переданного ей числа в римской системе счисления.
Пример:
Введите натуральное число:
2013
MMXIII

Изменяемые параметры
Задача. Написать процедуру, которая меняет местами значения двух переменных.
int main()
{ int x = 2, y = 3;
Swap ( x, y );
cout << x << " " << y;
}
void Swap ( int a, int b )
{
int c;
c = a; a = b; b = c;
}
2 3
передача по значению

Изменяемые параметры
void Swap ( int a, int b )
{
int c;
c = a; a = b; b = c;
}
&
int a, b;
Swap(a, b); // правильно
Swap(2, 3); // неправильно
Swap(a, b+3); // неправильно
Вызов:
&
передача по ссылке
переменные могут изменяться

Задачи
«A»: Напишите процедуру, которая переставляет три переданные ей числа в порядке возрастания.
Пример:
Введите три натуральных числа:
10 15 5
5 10 15
«B»: Напишите процедуру, которая сокращает дробь вида M/N. Числитель и знаменатель дроби передаются как изменяемые параметры.
Пример:
Введите числитель и знаменатель дроби:
25 15
После сокращения: 5/3

Задачи
«C»: Напишите процедуру, которая вычисляет наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел и возвращает их через изменяемые параметры.
Пример:
Введите два натуральных числа:
10 15
НОД(10,15)=5
НОК(10,15)=30

Программирование на языке C++
§ 60. Функции

Что такое функция?
Функция – это вспомогательный алгоритм, который возвращает значение-результат (число, символ или объект другого типа).
Примеры:
float s = sin(x);
char c = getch();
int v = rand() % 10;

Что такое функция?
int lastDigit( int n ) {
int d = n % 10;
return d;
}
Задача. Написать функцию, которая вычисляет младшую цифру числа (разряд единиц).
return d;
передача результата
результат работы функции – значение d
// вызов функции
k = lastDigit( 1234 );
cout << k;

Вычисление суммы цифр числа
Задача. Написать функцию, которая вычисляет сумму цифр числа.
Алгоритм:
сумма = 0
пока n != 0
сумма = сумма + n % 10
n = n / 10

Сумма цифр числа
int main()
{
cout << sumDigits(12345);
}
int sumDigits( int n )
{ int sum = 0;
while ( n != 0 )
{
sum += n % 10;
n /= 10;
}
return sum;
}
return sum;
передача результата
int
тип результата

Использование функций
x = 2*sumDigits(n+5);
z = sumDigits(k) + sumDigits(m);
if ( sumDigits(n) % 2 == 0 )
{
cout << "Сумма цифр чётная\n";
cout << "Она равна " << sumDigits(n);
}

Задачи
«A»: Напишите функцию, которая находит наибольший общий делитель двух натуральных чисел.
Пример:
Введите два натуральных числа:
7006652 112307574
НОД(7006652,112307574) = 1234.
«B»: Напишите функцию, которая определяет сумму цифр переданного ей числа.
Пример:
Введите натуральное число:
123
Сумма цифр числа 123 равна 6.

Задачи
«C»: Напишите функцию, которая «переворачивает» число, то есть возвращает число, в котором цифры стоят в обратном порядке.
Пример:
Введите натуральное число:
1234
После переворота: 4321.

Логические функции
Задача. Найти все простые числа в диапазоне
от 2 до 100.
int main()
{
for ( int i = 2; i <= 100; i++)
if ( )
cout << i << endl;
}
i - простое
isPrime(i)
функция, возвращающая логическое значение (true/false)

Функция: простое число или нет?
bool isPrime ( int n )
{
int count = 0, k = 2;
while ( k*k <= n && count == 0 )
{
if ( n % k == 0 )
count ++;
k ++;
}
return (count == 0);
}
bool
return (count == 0);
if( count == 0 )
return true;
else return false;

Логические функции: использование
cin >> n;
while ( isPrime(n) )
{
cout << "простое число\n";
cin >> n;
}

Задачи
«A»: Напишите логическую функцию, которая определяет, является ли переданное ей число совершенным, то есть, равно ли оно сумме своих делителей, меньших его самого.
Пример:
Введите натуральное число:
28
Число 28 совершенное.
Пример:
Введите натуральное число:
29
Число 29 не совершенное.

Задачи
«B»: Напишите логическую функцию, которая определяет, являются ли два переданные ей числа взаимно простыми, то есть, не имеющими общих делителей, кроме 1.
Пример:
Введите два натуральных числа:
28 15
Числа 28 и 15 взаимно простые.
Пример:
Введите два натуральных числа:
28 16
Числа 28 и 16 не взаимно простые.

Задачи
«С»: Простое число называется гиперпростым, если любое число, получающееся из него откидыванием нескольких цифр, тоже является простым. Например, число 733 – гиперпростое, так как и оно само, и числа 73 и 7 – простые. Напишите логическую функцию, которая определяет, верно ли, что переданное ей число – гиперпростое. Используйте уже готовую функцию isPrime, которая приведена в учебнике.
Пример:
Введите натуральное число:
733
Число 733 гиперпростое.
Пример:
Введите натуральное число:
19
Число 19 не гиперпростое.

Программирование на языке C++
§ 61. Рекурсия

Что такое рекурсия?
У попа была собака, он её любил,
Она съела кусок мяса, он её убил,
В землю закопал,
Надпись написал:
У попа была собака, он её любил,
Она съела кусок мяса, он её убил,
В землю закопал,
Надпись написал:
…

Что такое рекурсия?
Натуральные числа:
индуктивное определение
Рекурсия — это способ определения множества объектов через само это множество на основе заданных простых базовых случаев.
Числа Фибоначчи:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Фракталы
Фракталы – геометрические фигуры, обладающие самоподобием.
Треугольник Серпинского:

Ханойские башни
за один раз переносится один диск
класть только меньший диск на больший
третий стержень вспомогательный
перенести (n-1, 1, 2)
1 -> 3
перенести (n-1, 2, 3)
перенести (n, 1, 3)

Ханойские башни – процедура
void Hanoi ( int n, int k, int m )
{
int p;
p = 6 - k - m;
Hanoi ( n-1, k, p );
cout << k << " -> " << m << endl;
Hanoi ( n-1, p, m );
}
номер вспомогательного стержня (1+2+3=6!)
сколько
откуда
куда
рекурсия
рекурсия

Ханойские башни – процедура
Рекурсивная процедура (функция) — это процедура (функция), которая вызывает сама себя напрямую или через другие процедуры и функции.
void Hanoi ( int n, int k, int m )
{
int p;
p = 6 - k - m;
Hanoi ( n - 1, k, p );
cout << k << " -> " << m << endl;
Hanoi ( n - 1, p, m );
}
if ( n == 0 ) return;
условие выхода из рекурсии
int main()
{
Hanoi(4, 1, 3);
}

Вывод двоичного кода числа
void printBin( int n )
{
if ( n == 0 ) return;
printBin( n / 2 );
cout << n % 2;
}
условие выхода из рекурсии
напечатать все цифры, кроме последней
вывести последнюю цифру
10011
printBin( 19 )
printBin( 9 )
printBin( 4 )
printBin( 2 )
printBin( 1 )
printBin( 0 )

Вычисление суммы цифр числа
Задача. Написать рекурсивную функцию, которая вычисляет сумму цифр числа.
s = sumDigits( 1234 );
n // 10
n % 10
sumDigits( n )= sumDigits( n / 10 )+(n % 10)
sumDigits( n )= n для n < 10
n

Вычисление суммы цифр числа
int sumDigits( int n )
{
int sum;
sum = n %10;
if ( n >= 10 )
sum += sumDigits ( n / 10 );
return sum;
}
рекурсивный вызов
sumDigits( 1234 )
4 + sumDigits( 123 )
4 + 3 + sumDigits( 12 )
4 + 3 + 2 + sumDigits( 1 )
4 + 3 + 2 + 1
последняя цифра

Вычисление суммы цифр числа
sumDigits ( 123 );
sum = 3 + sumDigits ( 12 );
sumDigits = 6 ;
sumDigits ( 12 )
sum = 2 + sumDigits ( 1 );
sumnDigits = 3 ;
sumDigits ( 1 )
sumDigits = 1 ;

Алгоритм Евклида
Алгоритм Евклида. Чтобы найти НОД двух натуральных чисел, нужно вычитать из большего числа меньшее до тех пор, пока меньшее не станет равно нулю. Тогда второе число и есть НОД исходных чисел.
int NOD ( int a, int b )
{
if ( a == 0 || b == 0 )
if ( a > b )
return NOD( a - b, b );
else return NOD( a, b – a );
}
return a + b;
рекурсивные вызовы
условие окончания рекурсии

Задачи
«A»: Напишите рекурсивную функцию, которая вычисляет НОД двух натуральных чисел, используя модифицированный алгоритм Евклида.
Пример:
Введите два натуральных числа:
7006652 112307574
НОД(7006652,112307574)=1234.
«B»: Напишите рекурсивную функцию, которая раскладывает число на простые сомножители.
Пример:
Введите натуральное число:
378
378 = 2*3*3*3*7

Задачи
«C»: Дано натуральное число N. Требуется получить и вывести на экран количество всех возможных различных способов представления этого числа в виде суммы натуральных чисел (то есть, 1 + 2 и 2 + 1 – это один и тот же способ разложения числа 3). Решите задачу с помощью рекурсивной функции.
Пример:
Введите натуральное число:
4
Количество разложений: 4.

Как работает рекурсия?
int Fact( int N )
{
int F;
cout << "-> N=" << N << endl;
if ( N <= 1 )
F = 1;
else F = N * Fact(N - 1);
cout << "<- N=" << N << endl;
return F;
}
-> N = 3
-> N = 2
-> N = 1
<- N = 1
<- N = 2
<- N = 3
Факториал:

Стек
Стек – область памяти, в которой хранятся локальные переменные и адреса возврата.
Fact(3)
Fact(2)
Fact(1)
значение параметра
адрес возврата
локальная переменная

Рекурсия – «за» и «против»
с каждым новым вызовом расходуется память в стеке (возможно переполнение стека)
затраты на выполнение служебных операций при рекурсивном вызове
программа становится более короткой и понятной
возможно переполнение стека
замедление работы
int Fact( int N )
{
int F;
F = 1;
for(i = 2;i <= N;i++)
F = F * i;
return F;
}
итерационный алгоритм

Анализ рекурсивных функций
Задача. Определите f(5).
int f( int x ) {
if( x < 3 )
return 1;
else
return f( x-1 ) + 2;
}
Метод подстановки:
f(5) = f(4) + 2
f(4) = f(3) + 2
f(3) = f(2) + 2
f(2) = 1
= 3 + 2 = 5
= 1 + 2 = 3
линейная структура

Анализ рекурсивных функций
Задача. Определите f(5).
int f( int x ) {
if( x < 3 )
return 1;
else
return f(x-1) + 2*f(x-2);
}
дерево
3
3
5
11

Анализ рекурсивных функций
Чему равно f (5)?
Табличный метод :
11
f(3) = f(2) + 2*f(1) = 3
f(4) = f(3) + 2*f(2) = 5
f(5) = f(4) + 2*f(3) = 11

Анализ рекурсивных функций
Задача. Сколько звёздочек выводится при вызове f(11)?
void g( int x ); // объявление функции
void f( int x ) {
if( x > 0 ) g( x-1 );
}
void g( int x ) {
cout << '*';
if( x > 1 ) f( x-3 );
}
тут g(x) должна быть известна!

Анализ рекурсивных функций
Задача. Сколько звёздочек выводится при вызове f(9)?
void g( int x ); // объявление функции
void f( int x ) {
if( x > 0 ) {
g( x-1 );
f( x-2 );
}
cout << '*';
}
void g( int x ) {
cout << '*';
if( x > 1 ) f( x-3 );
}

Анализ рекурсивных функций
f (1) = g(0) + f (–1) + 1 = 3
f (2) = g(1) + f (0) + 1 = 3
g (2) = 1 + f (–1) = 2

Конец фильма
ПОЛЯКОВ Константин Юрьевич
д.т.н., учитель информатики
ГБОУ СОШ № 163, г. Санкт-Петербург
[email protected]
ЕРЕМИН Евгений Александрович
к.ф.-м.н., доцент кафедры мультимедийной дидактики и ИТО ПГГПУ, г. Пермь
[email protected]