Двоичный поиск в упорядоченном массиве

Идея двоичного поиска: Возьмем средний элемент упорядоченного массива и сравним с ключом поиска «Х». Возможны варианты:
1) am = Х элемент найден
2) am < Х продолжаем поиск в правой половине массива
3) am > Х продолжаем поиск в левой половине массива
Каким образом?

Алгоритм на псевдокоде
(первая версия)
Обозначим
L, R – правая и левая границы рабочей части массива,
Найден – логическая переменная, в которой будем отмечать факт успешного завершения поиска.
L: = 1, R: = n, Найден: = нет
DO ( L ≤ R )
m: = ⌊(L+R)/2⌋
IF (am=X) Найден: =да OD FI
IF (am < X) L: = m+1
ELSE R: = m-1
FI
OD

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
а б б б в г д е ж з и к Х=б
L=1, R=12
1 2 3 4 5
а б б б в L=1, R=5
Недостатки первой версии алгоритма:
1) на каждой итерации цикла два сравнения,
2) находит первый попавшийся элемент из нескольких с заданным ключом.

Рассмотрим вторую версию алгоритма,
в которой
уменьшим количество сравнений
путем исключения из алгоритма
проверки на равенство.

L: = 1, R: = n
DO ( L
m: = ⌊(L+R)/2⌋
IF (am < X) L: = m+1
ELSE R: = m
FI
OD
IF (aR=X) Найден: = да
ELSE Найден: = нет
FI
Алгоритм на псевдокоде
(вторая версия)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
а б б б в г д е ж з и к Х=б
L=1, R=12
1 2 3 4 5 6
а б б б в г L=1, R=6
1 2 3
а б б L=1, R=3
1 2
а б L=1, R=2
2
б L=2, R=2
Преимущества второй версии алгоритма:
1) на каждой итерации цикла одно сравнение,
2) находит самый левый элемент среди тех, которые удовлетворяют ключу.

Трудоемкость двоичного поиска
Сначала определим
максимальное количество итераций (k).
Рассмотрим худший случай, когда
1) часть массива aL , … , aR содержит нечетное количество элементов
2) в начале каждой итерации
слева элементов на один больше
3) на каждом шаге выбирается левая часть массива.

Трудоемкость двоичного поиска

Графики трудоемкости двоичного поиска

Сортировка данных
со сложной структурой
Дан массив абонентов
А: Иванов Петров Абрамов
223322 345767 667891
Struct abonent { char name[10];
long phone;
} A[n];
Чтобы отсортировать такой массив структур, нужно определить отношение порядка его элементов (> < =).

Сортировка данных
со сложной структурой
Пример. Struct abonent { char name[10];
long phone;
} A[n];
Попытка сортировки:
DO ( i = 1, 2, …, n-1 )
DO ( j = n, n-1, …, i+1)
IF ( Aj < Aj-1 ) Aj ↔ Aj-1 FI
OD
OD
Эта запись не будет верной, т.к. компилятор не знает как сравнивать элементы типа структура, т.к. они не являются встроенными элементами языка.

Логическая функция Less (меньше)
При сортировке по имени абонента:
int less ( struct abonent X, struct abonent Y)
{ if ( X.name
else return 0;
}
При сортировке по номеру телефона абонента:
int less ( struct abonent X, struct abonent Y)
{ if ( X.phone
else return 0;
}

Наполовину пуст?
Наполовину полон?
Программист считает, что
стакан в два раза больше, чем нужно

При сортировке по сложному ключу так же легко определить функцию less.
Для сортировки по фамилии абонента и (дополнительно) по номеру телефона:
int less ( struct abonent X, struct abonent Y)
{ if ( X.name < Y.name) return 1;
else if ( X.name > Y.name) return 0;
else if ( X.phone < Y.phone) return 1;
else return 0;
}

Тогда в алгоритмах сортировок вместо оператора сравнения используем вызов функции less.
Например, в пузырьковой сортировке:
DO ( i = 1, 2, …, n-1)
DO ( j = n, n-1, …, i+1)
IF ( less ( Aj , Aj-1 ) ) Aj ↔ Aj-1 FI
OD
OD

Вывод:
Если структура сортируемых данных
не соответствует
простым (встроенным) типам языка, то
операции отношения необходимо переопределить
с помощью соответствующих булевых функций.
Аналогичное переопределение операций сравнений требуется и для организации поиска!

Преимущества:
1) Операции отношения могут быть определены различными способами в зависимости от ключа сортировки и условия упорядочения данных.
2) Изменение направления упорядочения массива легко достигается с помощью изменения знака в операции отношения на противоположный.
Операции пересылки не требуют переопределения,
т.к. выполняются путем побайтового копирования.

Сортировка по множеству ключей
Пусть рассмотренный телефонный справочник хранится в виде базы данных в памяти компьютера и мы хотим использовать его для эффективного решения двух задач:
1) Быстро искать запись по заданной фамилии (справочник должен быть отсортирован по фамилиям абонентов);
2) Быстро искать запись по заданному номеру телефона (справочник должен быть отсортирован по номерам телефонов абонентов);
Для одновременного решения этих задач рассмотрим прием, называемый индексацией.

Индексация данных
Рассмотрим суть индексации на массиве целых чисел:
1 2 3 4 5 6 7 8 - физические номера
А: 5 7 3 4 2 6 1 8
В: 7 5 3 4 1 6 2 8
1 2 3 4 5 6 7 8 - логические номера
Массив В - индексный массив (индекс) массива А.
А [ B[i] ] – обращение к элементу массива А
через индекс В.
С: 8 2 6 1 4 3 5 7 - номера элементов массива А по убыванию
Массив С – индексный массив (индекс) массива А.
А [ С[i] ] – обращение к элементу массива А
через индекс С.

Чтобы упорядочить массив А (по возрастанию),
мы построили индексный массив В,
в него записали номера элементов массива А (по возрастанию элементов) и
обращаемся к элементам массива А
через индекс В.
При доступе к массиву А через индекс
мы работаем с ним как с упорядоченным
(например, можем производить быстрый двоичный поиск), в то время как
сами элементы физически не переставляются.

Пример. Вывод элементов массива (по возрастанию):
DO ( i = 1, …, n)
вывод ( А [ В[i] ] )
OD
Пример. Двоичный поиск (вторая версия):
L: = 1, R: = n
DO ( L
m: = ⌊(L+R)/2⌋
IF (А[В[m]] < X) L: = m+1
ELSE R: = m
FI
OD
IF (А[В[R]] = X) Найден: = да
ELSE Найден: = нет
FI

Построение индексного массива
Построение индексного массива выполняется
на базе любого алгоритма сортировки.
*Вначале в массив В записываются физические номера элементов массива А.
*Затем производится любая сортировка
при условии, что:
1) В операциях сравнения элементы массива А индексируются через В;
2) Перестановки делаются только в массиве В;

Построение индексного массива
Алгоритм на псевдокоде
(на примере пузырьковой сортировки)
B := (1, 2, …, n)
DO ( i = 1, 2, …, n-1)
DO ( j = n, n-1, …, i+1)
IF ( a[ bj ] < a[ bj-1 ]) bj↔bj-1 FI
OD
OD

Преимущества индексации
1) Появляется возможность построения нескольких различных индексов, которые можно использовать по мере необходимости.
2) Исключается копирование больших массивов данных.
3) Возможность
фильтрации данных.