Нечеткие множества

Нечеткие числа
Взрослый человек. Почти взрослый. Точно взрослый
Высокий человек
Быстрая передача данных
Дорогая квартира (высокая стоимость)
Высокая скорость
Надежный узел
Теплая / холодная / жаркая погода
Величина много больше, параметр значительно хуже
В задачах, где нет четкого определения / ответа
В задачах управления слабоструктурированными системами
В задачах построения АСУТП

Нечеткие числа
Лотфи Заде (теория нечетких множеств, теория нечеткой логики, теория мягких вычислений)
Нечеткое множество - собрание элементов, которые могут принадлежать этому множеству со степенью от 0 до 1. Причем 0 обозначает абсолютную непринадлежность, а 1 - абсолютную принадлежность множеству.

Нечеткие числа
Функция принадлежности – субъективная мера принадлежности элемента x нечеткому множеству A.

Нечеткие числа
Функция принадлежности – субъективная мера принадлежности элемента x нечеткому множеству A.

Нечеткие числа

Нечеткие числа
Альфа-срезы (α-уровни)
Выпуклая функция принадлежности (трапециевидная, треугольная)

Нечеткие числа
! Треугольная и трапециевидная формы – частные случаи
Функция принадлежности в виде α-срезов - аппроксимация
«Части» левой и правой сторон трапеции не обязательно симметричны
0 и 1 альфа-срезы задаются всегда

Нечеткие числа
Сложение нечетких чисел
складываются значения верхней границы одного множества со значениями верхней границы другого множества для каждого α -среза, аналогично для нижних границ.

Нечеткие числа

Нечеткие числа
Операция вычитания / разность двух нечетких чисел
из значения верхней границы одного множества вычитается значение нижней границы другого множества и наоборот.

Нечеткие числа

Нечеткие числа
Умножение
перемножаются значения верхней границы одного множества со значениями верхней границы другого множества, аналогично для нижних границ

Нечеткие числа

Нечеткие числа
Деление
значение верхней границы каждого среза одного множества делится на значение нижней границы другого множества и наоборот

Нечеткие числа

Нечеткие числа
Сравнение нечетких чисел
– количество α-срезов у каждого из чисел (могут быть не равны)

Нечеткие числа

Нечеткие числа
Если у двух чисел разное количество α-срезов или они заданы для разных значений α-срезов, то для выполнения арифметических операций нужно найти дополнительные значения (для включения в формулу одинаковых α-срезов). Используется уравнение прямой, проходящей через две точки.

Нечеткие числа
При работе с трапициевидными или трегольными числами обязательно проверяется вложенность интервалов (значений нижних и верхних границ для α-срезов) = выпуклость формы.

Нечеткие числа
Пример в АСУТП
Синтез нечеткого регулятора положения
Цель – оптимизация режима позиционирования следящего электропривода

Нечеткие числа

Нечеткие числа

Нечеткие числа

Нечеткие числа