ot_8_09_2022

Введение
Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами и цифрами - они с нами везде. Различные системы счисления используются всегда, когда появляется потребность в числовых расчётах, начиная с вычислений учениками младших классов, выполняемых карандашом на бумаге, заканчивая вычислениями, выполняемыми на суперкомпьютерах.

Система счисления – это определённый способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над ними.
Цель создания системы счисления- выработка наиболее удобного способа записи количественной информации.
История систем счисления
Системы счисления
Позиционные
Непозиционные

Древние системы счисления:
Единичная система
Древнегреческая нумерация
Славянская нумерация
Римская нумерация

Позиционные и непозиционные системы счисления

Запись числа в позиционной системе счисления
Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена:
Хs=An · Sn-1 + An-1 · Sn-2 + An-2 · Sn-3 +...+ A2 · S1 + A1 · S0
где S - основание системы счисления, А – цифры числа, записанного в данной системе счисления, n - количество разрядов числа.
Так, например число 629310запишется в форме многочлена следующим образом:
629310=6·103 + 2·102 + 9·101 + 3·100

Примеры позиционных систем счисления:

ИСТОРИЯ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Двоичная система счисления была придумана математиками и философами ещё до появления компьютеров (XVII — XIX вв.).
Пропагандистом двоичной системы был знаменитый Г.В. Лейбниц. Он отмечал особую простоту алгоритмов арифметических действий в двоичной арифметике в сравнении с другими системами и придавал ей определенный философский смысл.
В 1936 — 1938 годах американский инженер и математик Клод Шеннон нашёл замечательные применения двоичной системы при конструировании электронных схем.

Двоичная система счисления
Двоичная система счисления (бинарная система счисления, binary) — позиционная система счисления с основанием 2.
Неудобством этой системы счисления является необходимость перевода исходных данных из десятичной системы в двоичную при вводе их в машину и обратного перевода из двоичной в десятичную при выводе результатов вычислений.
Главное достоинство двоичной системы — простота алгоритмов сложения, вычитания, умножения и деления.

Сложение, вычитание, умножение и деление в двоичной системе счисления

Двоичное кодирование в компьютере
В конце ХХ века, века компьютеризации, человечество пользуется двоичной системой ежедневно, так как вся информация, обраба- тываемая современными ЭВМ, хранится в них в двоичном виде.
В современные компьютеры мы можем вводить текстовую информацию, числовые значения, а также графическую и звуковую информацию. Количество информации, хранящейся в ЭВМ, измеряется ее «длиной» (или «объемом»), которая выражается в битах (от английского binary digit – двоичная цифра).

Перевод чисел из одной системы счисления в другую
8
16

Заключение
Высшим достижением древней арифметики является открытие позиционного принципа представления чисел.
Нужно признать важность не только самой распространенной системы, которой мы пользуемся ежедневно. Но и каждой по отдельности. Ведь в разных областях используются разные системы счисления, со своими особенностями и характерными свойствами.

Перевод двоичного числа в десятичное
Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
Х10= Аn·2n-1 + Аn-1·2n-2 + Аn-2·2n-3 +…+А2·21 + А1·20
Перевод чисел

ПЕРЕВОД ВОСЬМЕРИЧНОГО ЧИСЛА В ДЕСЯТИЧНОЕ
Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
Х10= Аn·8n-1 + Аn-1·8n-2 + Аn-2·8n-3 +…+А2·81 + А1·80
Перевод чисел

Перевод шестнадцатеричного числа в десятичное
Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
Х10= Аn·16n-1 + Аn-1·16n-2 + Аn-2·16n-3 +…+А2·161 + А1·160
Перевод чисел

Перевод десятичного числа в двоичную систему
Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример: Число 2210 перевести в двоичную систему счисления: 2210=101102
Перевод чисел

Перевод десятичного числа в восьмеричную систему
Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример: Число 57110 перевести в восьмеричную систему счисления: 57110=10738
Перевод чисел

Перевод десятичного числа в шестнадцатеричную систему
Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример: Число 746710 перевести в шестнадцатеричную систему счисления: 746710=1D2B16
Перевод чисел

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ
Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой. При переводе необходимо пользоваться двоично-восьмеричной таблицей:
Пример: Число 10010112 перевести в восьмеричную систему счисления:
001 001 0112=1138
Перевод чисел

Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную
Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр).
Двоично-шестнадцатеричная таблица:
Пример: Число 10111000112 перевести в шестнадцатеричную систему счисления:
0010 1110 00112=2E316
Перевод чисел

Перевод восьмеричного числа в двоичное
Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.
Пример: Число 5318 перевести в двоичную систему счисления:
5318=101 011 0012
Перевод чисел

Перевод шестнадцатеричного числа в двоичное
Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.
Пример: Число ЕЕ816 перевести в двоичную систему счисления:
ЕЕ816=1110111010002
Перевод чисел

Перевод из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно
При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.
Пример 1: Число FEA16 перевести в восьмеричную систему счисления:
FEA16=1111111010102=111 111 101 0102=77528
Пример 2: Число 66358 перевести в шестнадцатеричную систему счисления:
66358=1101100111012=1101 1001 11012=D9D16
Перевод чисел

Единичная система
В древние времена, когда появилась потребность в записи чисел, количество предметов, изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности.
Археологами найдены такие «записи» при раскопках культурных слоев, относящихся к периоду палеолита (10–11 тысяч лет до н.э.).
В такой системе применялся только один вид знаков – палочка. Каждое число обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых равнялось обозначаемому числу.
Древние системы счисления

ДРЕВНЕГРЕЧЕСКАЯ НУМЕРАЦИЯ
Аттическая нумерация
Ионийская система
В третьем веке до н.э. аттическая нумерация была вытеснена
ионийской системой.
В древнейшее время в Греции была распространена аттическая нумерация.
Древние системы счисления

СЛАВЯНСКАЯ НУМЕРАЦИЯ
В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. Южные и восточные славянские народы для записи чисел пользовались алфавитной нумерацией. Славянская нумерация сохранялась только в богослужебных книгах. Над буквой, обозначавшей цифру, ставился специальный значок: («титло»). Для обозначения тысяч перед числом (слева внизу) ставился особый знак .
Z
Древние системы счисления

Римская нумерация
Древние римляне пользовались нумерацией, которая сохраняется до настоящего времени под именем «римской нумерации». Мы пользуемся ей для обозначения веков, юбилейных дат, наименования съездов и конференций, для нумерации глав книги или строф стихотворения.
Запись цифр в римской нумерации:
Древние системы счисления

Ионийская система
ОБОЗНАЧЕНИЕ ЧИСЕЛ В ИОНИЙСКОЙ СИСТЕМЕ НУМЕРАЦИИ