Слайд 2Мы знали, но забыли
Устойчивость – это когда всё стабильно?
![Мы знали, но забыли Устойчивость – это когда всё стабильно?](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-1.jpg)
Слайд 3В любой сложной системе есть запаздывание:
Подали напряжение на двигатель
Подождали полсекундочки
Обороты вышли на
![В любой сложной системе есть запаздывание: Подали напряжение на двигатель Подождали полсекундочки](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-2.jpg)
стабильную величину
Слайд 4В любой сложной системе есть запаздывание:
Опустили монетку в снековый автомат
Подождали 2 минуты
Получили
![В любой сложной системе есть запаздывание: Опустили монетку в снековый автомат Подождали 2 минуты Получили круассан](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-3.jpg)
круассан
Слайд 5В любой сложной системе есть запаздывание:
Посмотрели на светофор
Загорелся зеленый
Подождали секунду-две (в среднем)
Перешли
![В любой сложной системе есть запаздывание: Посмотрели на светофор Загорелся зеленый Подождали](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-4.jpg)
дорогу
Слайд 6Запаздывание?
Как оценить величину запаздывания?
Подать на систему сигнал
Измерить запаздывание
![Запаздывание? Как оценить величину запаздывания? Подать на систему сигнал Измерить запаздывание](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-5.jpg)
Слайд 7Запаздывание?
Как оценить величину запаздывания?
Подать на систему сигнал
Измерить запаздывание
А как?
Время достижения установившегося
![Запаздывание? Как оценить величину запаздывания? Подать на систему сигнал Измерить запаздывание А](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-6.jpg)
значения?
А какую точность брать?
Слайд 8Как будет удобнее?
Сигналы бывают разные
Постоянный сигнал
Скачок
Пила
Треугольник
Шум
Синус
![Как будет удобнее? Сигналы бывают разные Постоянный сигнал Скачок Пила Треугольник Шум Синус](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-7.jpg)
Слайд 9Как будет удобнее?
Любой периодический сигнал можно представить суммой гармонических сигналов разных частот
![Как будет удобнее? Любой периодический сигнал можно представить суммой гармонических сигналов разных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-8.jpg)
и амплитуд.
Если сигнал непериодический, то можно раскладывать в ряд Фурье на интервале.
Попробуем оперировать частотным представлением сигналов для оценки запаздывания
Слайд 10Эксперимент
Будем подавать на объект чистые синусоиды и наблюдать за реакцией объекта
![Эксперимент Будем подавать на объект чистые синусоиды и наблюдать за реакцией объекта](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-9.jpg)
Слайд 11Эксперимент
Будем подавать на объект чистые синусоиды и наблюдать за реакцией объекта
![Эксперимент Будем подавать на объект чистые синусоиды и наблюдать за реакцией объекта](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-10.jpg)
Слайд 12Эксперимент
Будем подавать на объект чистые синусоиды и наблюдать за реакцией объекта
![Эксперимент Будем подавать на объект чистые синусоиды и наблюдать за реакцией объекта](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-11.jpg)
Слайд 13Что это нам дает?
В эксперименте время запаздывания было постоянным на всех частотах,
![Что это нам дает? В эксперименте время запаздывания было постоянным на всех](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-12.jpg)
в реальной жизни такое бывает не всегда.
На каждой отдельно взятой синусоиде запаздывание удобно оценивать углом
Xвх = A * sin(wt)
Xвых = B * sin(wt + phi)
phi – это угол запаздывания
Слайд 14При чем тут устойчивость?
Пора вспомнить, чем мы тут занимаемся
Основной принцип управления объектами
![При чем тут устойчивость? Пора вспомнить, чем мы тут занимаемся Основной принцип](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-13.jpg)
– управление по ошибке.
Когда из заданного сигнала вычитается выходной и результат подаётся на регулятор.
Xвх - Xвых = A * sin(wt) – B * sin(wt + phi)
Если phi = Pi, то
Xвых = B * sin(wt + Pi) = -B * sin(wt)
Слайд 15При чем тут устойчивость?
То есть отрицательная обратная связь становится положительной!
![При чем тут устойчивость? То есть отрицательная обратная связь становится положительной!](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-14.jpg)
Слайд 16Насколько это плохо?
Xвх - Xвых = A * sin(wt) + B *
![Насколько это плохо? Xвх - Xвых = A * sin(wt) + B](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-15.jpg)
sin(wt)
= (A + B) * sin(wt)
На следующем шаге на объект будет подаваться уже Xвх = (A + B) * sin(wt)
Таким образом, выход будет (A + B) * B / A
Ошибка на следующем шаге будет равна:
Xвх - Xвых = (A + (A + B) * B / A) * sin(wt)
Слайд 17Упростим
Для удобства примем А = 1:
Xвх - Xвых = (1 + B)
![Упростим Для удобства примем А = 1: Xвх - Xвых = (1](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-16.jpg)
* sin(wt)
Xвх - Xвых = (1 + B*(1 + B)) * sin(wt)
Xвх - Xвых = (1 + B*(1 + B*(1 + B))) * sin(wt)
Xвх - Xвых = (1 + B*(1 + B*(1 + B*(1 + B)))) * sin(wt)
Xвх - Xвых = (1 + B*(1 + B*(1 + B*(1 + B*(1 + B))))) * sin(wt)
Будет ли этому конец?
Слайд 18Проще не стало
Оставим только амплитуду синуса, сам синус больше 1 не станет
![Проще не стало Оставим только амплитуду синуса, сам синус больше 1 не](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-17.jpg)
точно:
|Xвх – Xвых| = (1 + B)
|Xвх – Xвых| = (1 + B*(1 + B)) = 1 + B + B^2
|Xвх – Xвых| = (1 + B*(1 + B + B^2)) = 1 + B + B^2 + B^3
Каждый следующий шаг – сумма ряда B^n
Если B < 1, то сумма ряда не бесконечность, значит, модуль ошибки (и выходного значения заодно) будут ограничены.
Сумма ряда 1 + B + B^2 + B^3 + ... = 1/(1 - B)
Слайд 19Для наглядности
Если B = 0.9, то амплитуда синусоиды ошибки будет стремиться к
![Для наглядности Если B = 0.9, то амплитуда синусоиды ошибки будет стремиться](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-18.jpg)
10 при входном сигнале в 1, а амплитуда выхода – к 10–1=9.
При B = 0.01 – выход будет синусоидой с амплитудой 0.(01), что выглядит уже не так пугающе.
Слайд 20Что такое B?
B – отношение амплитуды выходного сигнала ко входному на частоте,
![Что такое B? B – отношение амплитуды выходного сигнала ко входному на](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-19.jpg)
запаздывание на которой равно Pi радиан (180 градусов).
Слайд 21Что мы узнали?
1) Как обычно описывают запаздывание
2) Как оно может навредить системе
3)
![Что мы узнали? 1) Как обычно описывают запаздывание 2) Как оно может](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-20.jpg)
В каких случаях запаздывание приведёт к развалу системы
4) Есть какие-то частотные штуки, которые мешают жить
Слайд 22Запаздывание? Никогда не встречал
Бывает ли чистое запаздывание в жизни?
На самом деле чистое
![Запаздывание? Никогда не встречал Бывает ли чистое запаздывание в жизни? На самом](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-21.jpg)
запаздывание в нашем мире встречается не очень часто. Обычно запаздывание является следствием протекания внутренних процессов, а не отсутсвием реакции на вход вовсе.
Это значит, что есть ряд внутренних переменных объекта, которые меняются плавно, создавая задержку между выходом и входом.
Слайд 23Запаздывание? Никогда не встречал
Двигатель не набирает скорость мгновенно? - это ток не
![Запаздывание? Никогда не встречал Двигатель не набирает скорость мгновенно? - это ток](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-22.jpg)
может резко нарасти и инерция ротора ограничивает ускорение
Человек не сразу переходит дорогу с появлением зелёного – это информация от глаз обрабатывается мозгом.
Наиболее подходящим примером транспортной задержки можно считать задержки в линиях связи.
Слайд 24Что это нам даёт?
Это означает, что при увеличении частоты синуса на входе
![Что это нам даёт? Это означает, что при увеличении частоты синуса на](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-23.jpg)
значения внутренних переменных объекта будут не успевать отрабатывать полную амплитуду входного сигнала
Слайд 26Объекты в жизни
Посмотрим на возможное поведение коэффициента передачи объектов при увеличении частоты
![Объекты в жизни Посмотрим на возможное поведение коэффициента передачи объектов при увеличении](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-25.jpg)
входного сигнала:
1) Не меняется вообще
2) Убывает в большом
3) Возрастает в большом
Слайд 27Объекты в жизни
Как мы только что убедились, запаздывание, в основном, приносит вместе
![Объекты в жизни Как мы только что убедились, запаздывание, в основном, приносит](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-26.jpg)
с собой уменьшение амплитуды при повышении частоты. Если амплитуда не меняется совсем, то, скорее всего, вход и выход связаны между собой линейно.
Такие объекты сложно вывести из равновесия и для управления обратная связь не нужна вовсе.
Слайд 28Объекты в жизни
Второй вариант – наиболее распространённый случай. Стабильные объекты обычно обладают
![Объекты в жизни Второй вариант – наиболее распространённый случай. Стабильные объекты обычно](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-27.jpg)
фильтрующими свойствами (снижают амплитуду при увеличении частоты).
Если коэффициент передачи будет меньше единицы на частотах с углом запаздывания не меньше 180 градусов, то объект будет устойчивым.
Большинство объектов и явлений устойчивы
Слайд 29Объекты в жизни
Третий вариант – тоже довольно редкий. В качестве примера можно
![Объекты в жизни Третий вариант – тоже довольно редкий. В качестве примера](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-28.jpg)
привести тахогенератор, на вход которому приходит изменение угла, а на выходе снимается изменение напряжения. Чем выше частота изменения угла, тем выше скорость, а, следовательно, и ЭДС на обмотке.
Говорить об устойчивости подобного объекта можно с натяжкой.
Слайд 30Куда уходит устойчивость?
Если объекты вокруг устойчивы, то к чему тогда весь разговор?
![Куда уходит устойчивость? Если объекты вокруг устойчивы, то к чему тогда весь разговор?](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-29.jpg)
Слайд 31Куда уходит устойчивость?
Объекты устойчивы, когда мы не пытаемся ими управлять!
А вот наша
![Куда уходит устойчивость? Объекты устойчивы, когда мы не пытаемся ими управлять! А](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-30.jpg)
система управления может значительно снизить устойчивость или вообще стать неустойчивой.
Поэтому вопрос устойчивости поднимается именно в рамках системы управления.
Слайд 32Что мы узнали ещё?
1) Большинство объектов устойчиво
2) Устойчивость уменьшает система управления
3) Человек
![Что мы узнали ещё? 1) Большинство объектов устойчиво 2) Устойчивость уменьшает система](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-31.jpg)
всё портит
Слайд 33Как сильно всё испорчено?
Как оценить, сильно снизилась устойчивость или нет?
![Как сильно всё испорчено? Как оценить, сильно снизилась устойчивость или нет?](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-32.jpg)
Слайд 34Как сильно всё испорчено?
Можно определить, насколько далеко от текущей ситуации находится неустойчивое
![Как сильно всё испорчено? Можно определить, насколько далеко от текущей ситуации находится](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-33.jpg)
положение.
Обычно, это называется запасом.
Слайд 35Запасы устойчивости
Выйти из зоны устойчивости объект может двумя путями:
1) Если коэффициент передачи
![Запасы устойчивости Выйти из зоны устойчивости объект может двумя путями: 1) Если](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-34.jpg)
увеличится настолько, что на углу запаздывания 180 градусов он станет равным единице.
2) Если угол запаздывания увеличится настолько, что на коэффициенте передачи 1 он достигнет значения 180 градусов.
Слайд 36Бывает ли такое?
Для примера возьмём двигатель
1) Нагрелись обмотки из-за работы на большую
![Бывает ли такое? Для примера возьмём двигатель 1) Нагрелись обмотки из-за работы](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-35.jpg)
нагрузку и сопротивление увеличилось. Это изменение приведет к увеличению коэффициента передачи системы.
2) Обмотки сильно нагрелись, диаметр витков от нагрева увеличился, увеличилась магнитная проницаемость материала сердечника. Результат – изменилась индуктивность, постоянная времени L/R, увеличился угол запаздывания
Слайд 37Как проверить систему на устойчивость
Снять зависимости амплитуды и угла запаздывания от частоты
![Как проверить систему на устойчивость Снять зависимости амплитуды и угла запаздывания от](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-36.jpg)
на диапазоне от 0 до той, на которой угол будет 180 градусов
Определить по снятой характеристике оба запаса.
Слайд 38Как проверить систему на устойчивость
А если у нас микроконтроллер и преобразование Фурье
![Как проверить систему на устойчивость А если у нас микроконтроллер и преобразование](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-37.jpg)
нам делать слишком дорого?
Слайд 39Как проверить систему на устойчивость
Можно искуственно создать изменения в системе и оценить
![Как проверить систему на устойчивость Можно искуственно создать изменения в системе и](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-38.jpg)
величину запасов:
1) Увеличить коэффициент усиления в прямом канале до тех пор, пока в системе не начнуться устойчивые колебания.
2) Внести искуственную задержку в прямой канал, увеличивать её до появления устойчивых колебаний.
Слайд 40Проблемы автоматизации
Чтобы автоматизировать процесс, надо уметь определять устойчивые колебания.
Они могут прийтись на
![Проблемы автоматизации Чтобы автоматизировать процесс, надо уметь определять устойчивые колебания. Они могут](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1156170/slide-39.jpg)
ту частоту, которая будет выше частоты чтения выходной величины.