Различные системы счисления

Культурный образец
11002= 1·23+1·22+0·21+0·20=8+4=1210
1012=1·22+0·21+1·20=4+1=510
1002=1·22+0·21+0·20=410
102=1·21+0·20=210

Тема урока:
Различные системы счисления

Деятельностно-ценностные задачи
Рассмотрите различные виды систем счисления
Научитесь переходить от одной системы счисления к другой
Оцените удобство записи чисел в различных системах счисления

Система счисления -
Система счисления - это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).
Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа.
Отдельную позицию в изображении числа принято называть разрядом, а номер позиции - номером разряда. Число разрядов в записи числа называется разрядностью.

Виды систем счисления
Позиционные
Десятичная
Двоичная
Восьмеричная и др.
Непозиционные
Римская

Позиционная система счисления
В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число.
Любая позиционная система характеризуется своим основанием.
Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.
За основание можно принять любое натуральное число - два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.
Примеры позиционной системы счисления - двоичная, десятичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления и т. д.

Двоичная система счисления
Двоичная система счисления.
В этой системе всего две цифры - 0 и 1. Основание системы - число 2. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра - число двоек, следующая - число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число - представить его в виде последовательности нулей и единиц.

Десятичная система счисления
Десятичная система счисления.
В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа - число десятков, следующая - число сотен и т.д.
Пример:
33310= 3*100 + 3*10+3*1 = 300 + 30 + 3

Переход от десятичной к двоичной системе счисления
5310
53:2=26(ост.1)
26:2=13(ост.0)
13:2=6(ост.1)
6:2=3(ост.0)
3:2=1(ост.1)
5310=1101012

Переход от десятичной к двоичной системе счисления
4910
49:2=24(ост.1)
24:2=12(ост.0)
12:2=6(ост.0)
6:2=3(ост.0)
3:2=1(ост.1)
4910=1100012

Непозиционные системы счисления
В непозиционных системах счисления вес цифры не зависит от позиции, которую она занимает в числе.
IX и XI

Римская система счисления

Римская система счисления
Римские цифры имели такой вид:
1 - I,
5 - V,
10 - X,
50 - L,
100 - C,
500 – D,
1000 - M.

Правила записи чисел в римской системе нумерации
Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими, слева направо. Если цифра с меньшим значением записывалась перед цифрой с большим значением, то происходило ее вычитание.
CCXXXVII = 100+100+10+10+10+5+1+1 = 237
Но
XXXIX = 10+10+10-1+10 = 39
Есть правило, по которому нельзя записывать подряд 4 одинаковых цифры, такая комбинация заменяется комбинацией с правилом вычитания, например:
XXXX = XC (50-10)
IIII = IV (5-1)
CCCC = CD (500-100)

Практикум
1. Представить римские числа в десятичной системе счисления
CDIX -? MCCXIX-?
2. Перевести число 35 в 2-ную систему счисления.
3. Перевести число в десятичную систему счисления:
1101112

Проверьте своё решение
409 , 1219
1000112
5610

Непозиционные системы счисления
Славянская кириллическая нумерация

Славянская кириллическая нумерация
Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими, слева направо. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали. Интереснее всего записывались числа второго десятка:
Читаем дословно "четырнадцать" - "четыре на десять". Как слышим, так и пишем: не 10+4, а 4+10, - четыре на десять. И так для всех чисел от 11 до 19. Таким образом у славян мы прослеживаем десятеричную систему счисления.

Славянская кириллическая нумерация
Запись числа, использованная славянами аддитивная, то есть в ней используется только сложение:
800+60+3=
Для того, чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, что мы видим на рисунке.
Для обозначения больших, чем 900 чисел использовались специальные значки, добавляемые к букве. Так образовывались числительные Тысяща - 1 000, Леон - 10 000, Одр - 100 000, Вран (ворон) - 1 000 000, Колода - 10 000 000, Тьма - 100 000 000.

Славянская кириллическая нумерация
Со словом "Тьма" связана поговорка "тьма-тьмущая", означающая немыслимо много. В "Слове о полку Игореве" мы встречаем фразу "орда покрыла вороновым крылом", которую можно истолковать как "побила большой силой", где "большой" можно сравнить с полумиллионом человек.
В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая "арабская нумерация"