Системы счисления

Содержание
Введение
Непозиционные системы счисления
Единичная
Римская
Позиционные системы счисления
Десятичная
Двоичная
Задания

Введение
Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использование особых знаковых систем, которые называют системами счисления.
Содержание

Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью знаков некоторого алфавита, называемых символами.
Все системы счисления делятся на две большие группы
ПОЗИЦИОННЫЕ
НЕПОЗИЦИОННЫЕ

Непозиционные системы счисления
В этой системе количественное значение цифры числа не зависит от того, в каком месте (позиции или разряде) записана та или иная цифра.
Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков: зарубок, черточек, точек.
Содержание

Единичная («палочная»)
Период палеолита.
10-11 тысяч лет до н.э.
- единицы
- десятки
- сотни
= 3 4 5
или
2,5 тысяч лет до н.э.
Древнеегипетская
десятичная

Алфавитные системы
Древняя Русь
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
«… В год 6367. Варяги из заморья
взимали дань…»
- тысячи
- тьма: х10 000
100 000 - легион
1000 000 - леодр
1050 - колода
(«Повесть временных лет»)
. . .
= 10 000
«более сего несть человеческому уму разумевати»
- титло
«Аз»
«Веди»
«Глаголь»
«Добро»
«Есть»
«Зело»
«Земля»
«Иже»
«Фита»
«И»
~ титло

Единичная система счисления
Такая система записи чисел называется единичной, так как любое число образуется в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Единичной системой счисления пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст или используя для этого счетные палочки.
Содержание

Как считали в древности?
Арифметика каменного века
«солюс»- один
Пальцы – первое вычислительное устройство

Римская система счисления
Самой распространенной из непозиционных систем счисления, которая сохранилась до наших дней, является римская система счисления, которая начала применяться более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме.
В основе римской системы лежат знаки:
I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000).
Содержание

Римская система счисления
В ее основе лежали знаки:
Пример числа, записанного в римской системе счисления:
От положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает
X X I Х
CDXXIV =
424

Римская система счисления
Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа – прибавляется.
Содержание

В римской системе количественное значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в римском числе ХХХ (30) цифра Х встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и туже величину – число 10, три раза по 10 в сумме дают 30.
Чтобы записать число в римской системе, необходимо разложить его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков единиц. Например, число 28 выглядит так:
XXVIII= 10+10+5+1+1+1

При записи чисел в римской системе применяется правило: каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него, в остальных случаях знаки складываются. Например, римское число IX обозначает 9 (-1+10), а XI обозначает 11 (10+1). Число 99 имеет следующее представление:
XCIX = -10+100-1+10
Содержание

Позиционные системы счисления
В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры числа зависит от того, в каком месте записана та или иная цифра.
Каждая позиционная система счисления имеет определенный алфавит цифр и основание. Основание системы равно количеству цифр (знаков) в ее алфавите.
Содержание

Первая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричная, т.е. в ней использовалось шестьдесят цифр!
До сих пор при измерении времени мы используем основание 60 (в одной минуте 60 секунд, а в 1 часе – 60 минут).
Содержание

2 тысячи лет до н.э.
Вавилонская шестидесятеричная
- единицы
- десятки
= 33
цифры:
и
2-ой
разряд
1-ый
разряд
= 60 + 20 + 2 = 82
и

В XIX веке довольно широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления. До сих пор мы часто употребляем дюжину (число 12): в сутках две дюжины часов (24 часа), круг содержит тридцать дюжин градусов (360 градусов) и т.д.
На данный момент, активно используются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.
Содержание

Количество различных символов, используемых для изображения числа в позиционных системах счисления, называется основанием системы счисления.

В настоящее время наиболее распространенными позиционными системами счисления являются:
Десятичная система (математика)
Двоичная система (информатика)
Содержание

Десятичная позиционная система счисления
Десятичная система имеет алфавит цифр, который состоит из десяти всем известных, так называемых арабских цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), основание системы равно 10.
В десятичной системе счисления цифра в крайней справа позиции обозначает единицы, цифра, смещенная на одну позицию влево - десятки, еще левее – сотни, затем тысячи и т.д.
Содержание

Десятичная позиционная система счисления
Рассмотрим в качестве примера десятичное число 555. Цифра 5 встречается в числе трижды, причем самая правая обозначает 5 единиц, вторая справа – пять десятков, и наконец, третья – пять сотен.
5 5 5
сотни десятки единицы
Содержание

Двоичная система счисления
Двоичная система имеет алфавит цифр, который состоит из двух цифр (0, 1) основание системы равно 2.
Двоичная система применяется в информатике т.к. две цифры удобны для электронного хранения данных, поскольку требуют только двух состояний электронной схемы – «включено» (соответствует 1 ) и «выключено» (соответствует 0)