Тема: Основные понятия алгебры логики. Логические выражения и логические операции

Алгебра – это раздел математики, предназначенный для описания действий над переменными величинами, которые принято обозначать строчными латинскими буквами, например a, b, x, y и т.д.

Логика (древнегреч. – слово logos, означает «мысль, понятие, рассуждение, закон») - наука о законах и формах мышления.
Алгебра логики изучает общие операции над высказываниями.

Основы алгебры логики (булева алгебра) были положены английским математиком Джорджем Булем в 19 веке.

Высказывание (суждение) - это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывания можно сказать истинно оно или ложно.

Число 6 – четное.
Здравствуйте!
Все роботы являются машинами.
Кто отсутствует?
Выразите 1 ч 15 мин в секундах.
А – первая буква в алфавите.
Определите какие из следующих выражений являются высказываниями.

Треугольник – геометрическая фигура.
У каждой лошади есть хвост.
Париж - столица Китая.
Лед – твердое состояние воды.
Все люди космонавты.
Определите истинность высказываний.

В алгебре логики высказывания
обозначаются именами
логических переменных (А, В,
С), которые могут принимать
значения истина (1) или ложь (0).
Истина, ложь – логические константы.

Логические выражения бывают простые или сложные.
Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логические операции. В нём возможно только два результата – либо «истина», либо «ложь».

Сложное логическое высказывание строится из простых с помощью связок «И», «ИЛИ», «НЕ», которые называются логическими операциями.
Основные логические операции:
НЕ (логическое отрицание, инверсия)
ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)
И (логическое умножение, конъюнкция)

Конъюнкция (логическое умножение) – соединение двух логических выражений (высказываний ) с помощью союза И. Эта операция обозначается символами & и
Логические операции

А – У меня есть знания для сдачи зачета.
В – У меня есть желание для сдачи зачета.
У меня есть знания и желание для сдачи зачета.
A&B

Вывод: Логическая операция конъюнкция истинна только в том случае, если оба простых высказывания истинны, в противном случае она ложна.

Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности значений. Таблица истинности определяет результат выполнения операций для всех возможных логических значений исходных высказываний.

Таблица истинности

Дизъюнкция (логическое сложение) – соединение двух логических высказываний с помощью союза ИЛИ. Эта операция обозначается значком V.
Логические операции

A - Летом я поеду в лагерь
B - Летом я поеду к бабушке.
Летом я поеду в лагерь или поеду к бабушке.
AVB

Вывод: Логическая операция дизъюнкция ложна, если оба простых высказывания ложны. В остальных случаях она истинна

Таблица истинности

Отрицание (инверсия) – добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО,ЧТО, обозначается символом ¬ , ¯.
Логические операции

А - Земля вращается вокруг Солнца – истинно
¬А - Земля не вращается вокруг Солнца - ложно

Вывод: если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то оно будет истинным.

Таблица истинности

Следование (импликация) – эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе – следствием из этого условия. Содержит конструкцию «ЕСЛИ – ТО».
Обозначается →.
Логические операции

А – идёт дождь
В – на улице сыро
Если идёт дождь, то на улице сыро.
А → В

Вывод: Результат операции следования (импликации) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.

Таблица истинности

Равнозначность (эквивалентность) –логическое выражение содержит конструкцию «А ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА В».
Обозначается ~.
Логические операции

А – день сменяет ночь
В – солнце скрывается за горизонтом
День сменяет ночь тогда и только тогда, когда солнце скрывается за горизонтом.
А ~ В

Вывод: результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.

Таблица истинности

Инверсия
Конъюнкция
Дизъюнкция
Импликация
Эквивалентность
Для изменения указанного порядка выполнения операций применяют скобки.
Прядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении:

Как пройти в библиотеку?
Меню в программе – это список возможных вариантов.
Сканер – это устройство, которое может напечатать на бумаге то, что изображено на экране компьютера.
Мышка – это устройство ввода информации.
Число 2 является делителем числа 7.
Из следующих предложений выбрать те, которые являются высказываниями:

Сегодня, завтра или через месяц он напишет письмо
Если успешно закончишь первую четверть, то тебе подарят компьютер
В школе уроки начнутся в 9 часов утра
Кончилось лето, и наступили прохладные дни
У меня есть старший брат
Каждое утро и каждый вечер он выходит на прогулку
После дождя трава мокрая
Круг – это не квадрат
Марс находится в пределах Солнечной системы
Распределите высказывания по типам (простое, сложное)

Он позвонит или пришлёт сообщение по электронной почте
Неверно, что январь – летний месяц
Каждый человек на земле имеет право быть счастливым
Мне должны подарить либо лыжи, либо самокат
На следующей неделе она зайдёт ко мне домой и на работу к бабушке
Если у тебя заболело горло, то обязательно надо показаться врачу
Все ученики нашего класса пойдут в кино
Некоторые дети не любят конфеты
Существуют птицы, которые не могут летать
Укажите связующие слова или союзы и наименование связок

Поедем на дачу
Хорошая погода
По прогнозам синоптиков предполагаются осадки в виде дождя и снега
Сильный ветер
Отсутствие ветра
Плохая погода
Мы поедем на пляж
Антон приглашает нс в театр
Антон приглашает нас в цирк
После школы я буду учиться в институте
После школы я буду работать в интернет-центре
Из следующих простых высказываний составьте и запишите несколько сложных высказываний: