3.7. Непрерывность функции

Содержание

Слайд 2

Пример.

Самостоятельно: вычислить указанный предел;

Самостоятельно: вычислить указанный предел; привести еще 2 аналогичных

Пример. Самостоятельно: вычислить указанный предел; Самостоятельно: вычислить указанный предел; привести еще 2 аналогичных примера.
примера.

Слайд 3

Функция называется непрерывной справа в точке a,

Функция называется непрерывной справа в

Функция называется непрерывной справа в точке a, Функция называется непрерывной справа в
точке a, если

Пример.

x

y

O

a

Слайд 4

Функция называется непрерывной слева в точке a,

Функция называется непрерывной слева в

Функция называется непрерывной слева в точке a, Функция называется непрерывной слева в
точке a, если

Пример.

x

y

O

a

Слайд 5

Пример.

x

O

y

1

1

2

2

3

-1

-1

Пример. x O y 1 1 2 2 3 -1 -1

Слайд 6

Теорема 1.

Теорема 1. Для того, чтобы функция f была непрерывной в

Теорема 1. Теорема 1. Для того, чтобы функция f была непрерывной в
точке a

Теорема 1. Для того, чтобы функция f была непрерывной в точке a необходимо и достаточно,

Теорема 1. Для того, чтобы функция f была непрерывной в точке a необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывной в точке a справа и слева.

Слайд 7

─ приращение аргумента

─ приращение функции

Функция f является непрерывной в точке а,

Функция f является непрерывной в

─ приращение аргумента ─ приращение функции Функция f является непрерывной в точке
точке а, если ее приращение в этой точке есть БМФ.

Слайд 8

Теорема 2. (Алгебраические свойства непрерывных функций)

Пусть функции и непрерывны в точке a.

Тогда,

Теорема 2. (Алгебраические свойства непрерывных функций) Пусть функции и непрерывны в точке
функции

также непрерывны в точке a.

п.2. Основные теоремы о непрерывных в точке функций

Слайд 9

Теорема 3. (О непрерывности сложной функции)

Пусть функция непрерывна в точке

функция непрерывна

Теорема 3. (О непрерывности сложной функции) Пусть функция непрерывна в точке функция
в точке

Тогда, сложная функция

непрерывна в точке

Слайд 10

Теорема 4. (О непрерывности обратной функции)

Пусть функция непрерывна в точке

Тогда, если

Теорема 4. (О непрерывности обратной функции) Пусть функция непрерывна в точке Тогда,
для функции f существует обратная функция ,

Тогда, если для функции f существует обратная функция , то она непрерывна в точке

Слайд 11

п.3. Точки разрыва и их классификация

Точками разрыва функции f называются те точки,

п.3. Точки разрыва и их классификация Точками разрыва функции f называются те

Точками разрыва функции f называются те точки, в которых функция f не является непрерывной.

Точки разрыва

I род

II род

точки устранимого разрыва

точки конечного разрыва

Слайд 12

Точка называется точкой разрыва I рода функции ,

Точка называется точкой разрыва

Точка называется точкой разрыва I рода функции , Точка называется точкой разрыва
I рода функции , если в этой точке существуют конечные

Точка называется точкой разрыва I рода функции , если в этой точке существуют конечные (не равные ∞)

Точка называется точкой разрыва I рода функции , если в этой точке существуют конечные (не равные ∞) односторонние пределы:

Слайд 13

─ точка устранимого разрыва

x

y

O

a

─ точка устранимого разрыва x y O a

Слайд 14

─ точка конечного разрыва

x

y

O

a

─ скачок функции

─ точка конечного разрыва x y O a ─ скачок функции

Слайд 15

Пример.

x

O

y

1

1

2

2

3

-1

-1

─ точка конечного разрыва

─ скачок функции

Пример. x O y 1 1 2 2 3 -1 -1 ─

Слайд 16

Точка называется точкой разрыва II рода функции ,

Точка называется точкой разрыва

Точка называется точкой разрыва II рода функции , Точка называется точкой разрыва
II рода функции , если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов

Точка называется точкой разрыва II рода функции , если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Слайд 17

Пример.

x

O

y

─ точка разрыва II рода

Пример. x O y ─ точка разрыва II рода

Слайд 18

Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке

Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке
интервала ,

п.4. Основные теоремы о непрерывных на отрезке функциях

Функция называется непрерывной на отрезке ,

Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке интервала , в точке непрерывна справа,

Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке интервала , в точке непрерывна справа, а в точке непрерывна слева.

Слайд 19

Теорема 5. (Об устойчивости знака)

Пусть функция непрерывна в точке a

и .

и .

Теорема 5. (Об устойчивости знака) Пусть функция непрерывна в точке a и
Тогда существует δ-окрестность точки a

и . Тогда существует δ-окрестность точки a такая, что в этой окрестности функция

имеет тот же знак, что и

Слайд 21

Теорема 6. (Первая теорема Больцано–Коши)

Пусть

функция непрерывна на отрезке

на концах отрезка принимает

Теорема 6. (Первая теорема Больцано–Коши) Пусть функция непрерывна на отрезке на концах
значения разных знаков:

Тогда

Слайд 23

Теорема 7. (Вторая теорема Больцано–Коши)

Пусть

функция непрерывна на отрезке

Тогда

Теорема 7. (Вторая теорема Больцано–Коши) Пусть функция непрерывна на отрезке Тогда

Слайд 25

Теорема 8. (Первая теорема Вейерштрасса)

Пусть

функция непрерывна на отрезке

Тогда

она ограничена на этом

Теорема 8. (Первая теорема Вейерштрасса) Пусть функция непрерывна на отрезке Тогда она ограничена на этом отрезке.
отрезке.
Имя файла: 3.7.-Непрерывность-функции.pptx
Количество просмотров: 41
Количество скачиваний: 0