3.7. Непрерывность функции

Пример.
Самостоятельно: вычислить указанный предел;
Самостоятельно: вычислить указанный предел; привести еще 2 аналогичных примера.

Функция называется непрерывной справа в точке a,
Функция называется непрерывной справа в точке a, если
Пример.
x
y
O
a

Функция называется непрерывной слева в точке a,
Функция называется непрерывной слева в точке a, если
Пример.
x
y
O
a

Пример.
x
O
y
1
1
2
2
3
-1
-1

Теорема 1.
Теорема 1. Для того, чтобы функция f была непрерывной в точке a
Теорема 1. Для того, чтобы функция f была непрерывной в точке a необходимо и достаточно,
Теорема 1. Для того, чтобы функция f была непрерывной в точке a необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывной в точке a справа и слева.

─ приращение аргумента
─ приращение функции
Функция f является непрерывной в точке а,
Функция f является непрерывной в точке а, если ее приращение в этой точке есть БМФ.

Теорема 2. (Алгебраические свойства непрерывных функций)
Пусть функции и непрерывны в точке a.
Тогда, функции
также непрерывны в точке a.
п.2. Основные теоремы о непрерывных в точке функций

Теорема 3. (О непрерывности сложной функции)
Пусть функция непрерывна в точке
функция непрерывна в точке
Тогда, сложная функция
непрерывна в точке

Теорема 4. (О непрерывности обратной функции)
Пусть функция непрерывна в точке
Тогда, если для функции f существует обратная функция ,
Тогда, если для функции f существует обратная функция , то она непрерывна в точке

п.3. Точки разрыва и их классификация
Точками разрыва функции f называются те точки,
Точками разрыва функции f называются те точки, в которых функция f не является непрерывной.
Точки разрыва
I род
II род
точки устранимого разрыва
точки конечного разрыва

Точка называется точкой разрыва I рода функции ,
Точка называется точкой разрыва I рода функции , если в этой точке существуют конечные
Точка называется точкой разрыва I рода функции , если в этой точке существуют конечные (не равные ∞)
Точка называется точкой разрыва I рода функции , если в этой точке существуют конечные (не равные ∞) односторонние пределы:

─ точка устранимого разрыва
x
y
O
a

─ точка конечного разрыва
x
y
O
a
─ скачок функции

Пример.
x
O
y
1
1
2
2
3
-1
-1
─ точка конечного разрыва
─ скачок функции

Точка называется точкой разрыва II рода функции ,
Точка называется точкой разрыва II рода функции , если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов
Точка называется точкой разрыва II рода функции , если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Пример.
x
O
y
─ точка разрыва II рода

Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке интервала ,
п.4. Основные теоремы о непрерывных на отрезке функциях
Функция называется непрерывной на отрезке ,
Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке интервала , в точке непрерывна справа,
Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке интервала , в точке непрерывна справа, а в точке непрерывна слева.

Теорема 5. (Об устойчивости знака)
Пусть функция непрерывна в точке a
и .
и . Тогда существует δ-окрестность точки a
и . Тогда существует δ-окрестность точки a такая, что в этой окрестности функция
имеет тот же знак, что и

x
O
y
a

Теорема 6. (Первая теорема Больцано–Коши)
Пусть
функция непрерывна на отрезке
на концах отрезка принимает значения разных знаков:
Тогда

x
O
y
a
b
c

Теорема 7. (Вторая теорема Больцано–Коши)
Пусть
функция непрерывна на отрезке
Тогда

x
O
y
a
b
c

Теорема 8. (Первая теорема Вейерштрасса)
Пусть
функция непрерывна на отрезке
Тогда
она ограничена на этом отрезке.