Алгебраические структуры, порожденные отношением причинности на пространствах-временах

Цели и задачи
организация причинных подмножеств пространственно-временных многообразий в алгебраические структуры (решетки [1]);
изучение свойств полученных классических конструкций
сопоставление с квантовомеханическими аналогами
Мотивировки
Алгебраическая квантовая теория поля (АКТП) [2],[3]
Общая теория относительности [4]
[1] Grätzer, G. (2002). General lattice theory. Springer Science & Business Media.
[2] Baumgärtel H., Wollenberg M. Causal nets of operator algebras: Mathematical aspects of algebraic quantum field theory. – 1992.
[3] Haag R., Kastler D. An algebraic approach to quantum field theory //Journal of Mathematical Physics. – 1964. – Т. 5. – №. 7. – С. 848-861.
[4] Hawking S. W., Ellis G. F. R. The large scale structure of space-time. – Cambridge university press, 1973. – Т. 1
Структура пространства-времени –
структура дифференцируемого многообразия с заданной на нем Лоренцевой метрикой
и ассоциированной с ней аффинной связностью

Решетки (алгебраические системы). Определение
Решеткой называется множество с двумя введенными на нем операциями
такими, что выполняются следующие свойства:
Виды решеток

Булева алгебра причинно замкнутых подмножеств некоторого множества
Причинное дополнение. Отношение причинной несвязанности
Примеры задания причинного дополнения

Решетка
причинно замкнутых
подмножеств
Квантовомеханические решетки
Классические решетки
2. Решетки диамантов на
1. Решетки конусов на
3. Решетка времениподобновыпуклых подмножеств
1. Гильбертова решетка
2. Проекторная решетка
3. Решетка алгебр фон Нойманна

Алгебраическая квантовая теория поля. Аксиомы Хаага-Кастлера
1. Изотония
2. Микропричинность
3. Ковариантность
Трансляционная ковариантность

5. Спектральное условие
Локально ковариантная
квантовая теория поля [5]
Алгебраическая квантовая теория поля.
Аксиомы Хаага-Кастлера
[5] Brunetti R., Fredenhagen K., Verch R. The generally covariant
locality principle–a new paradigm for local quantum field theory //Communications in Mathematical Physics. – 2003. – Т. 237. –
№. 1-2. – С. 31-68.

Классические решетки
Решетки конусов на
-дистрибутивная
-ограниченная
Операция пересечения
Биекция
Операция объединения
Семейства конусов на
Верхние
Нижние
Времениподобные
Причинные

Классические решетки
-дистрибутивная
-ограниченная
Операция объединения

Классические решетки
Примеры

Квантовомеханические решетки
3. Ограниченная решетка с дополнениями алгебр фон Нойманна
1. Ограниченная решетка с ортодополнениями
замкнутых по норме подпространств
гильбертова пространства
-ортогональное дополнение

Заключение
Построение алгебраических структур, индуцированных отношением причинности, в данной работе ограничивается решетками
Как семейства подлежащих подмножеств, так и операции, заданные на них, отражают причинные свойства
Полученные классические конструкции сопоставлены с квантовомеханическими интерпретациями булевой алгебры подмножеств
Перспективы исследования
Руководствуясь аксиоматикой АКТП, подмножества пространства-времени можно рассматривать в качестве отправной точки для построения сетей алгебр наблюдаемых
Задача систематизации подмножеств пространства-времени получает перспективы дальнейшей интерпретации на алгебраическом этаже и, возможно, разработке процедуры квантования путем построения соответствий между классическими и квантовыми решетками
Полученный в работе ряд пространственно-временных решёток на пространстве-времени Минковского имеет целью дальнейшее применение в релятивистских локальных квантовых теориях на искривлённых пространствах-временах
Таким образом, возникает необходимость в разработке форм организации подмножеств пространства-времени, которые естественны с точки зрения процедур манипулирования (в контексте АКТП) информацией о причинной структуре

Апробация работы
1. Выступления на «Семинаре по алгебре, геометрии в математической физике» (руководитель: Никифоров А.М.)
2. Выступление на международной конференции «Mathematical Spring-2019», НИУ ВШЭ-НН, 2019 г.
Тема доклада: Monoidal Categories in Mathematical Physics
3. Выступление на международной конференции
«Математическая физика, динамические системы и бесконечномерный анализ», МФТИ, 2019 г.
Тема доклада: Моноидальные категории в теориях поля
4. Выступление на международной конференции
«Topological methods in dynamics and related topics II», НИУ ВШЭ-НН, 2019 г.
Тема доклада: Algebraic constructions generated by causal structure of space-times
5. Публикация «Monoidal Categories in Mathematical Physics»
в сборнике тезисов международной конференции «Mathematical Spring-2019», НИУ ВШЭ-НН, 2019 г.
6. Публикация «Algebraic constructions generated by causal structure of space-times»
в сборнике тезисов международной конференции «Topological methods in dynamics and related topics II»,
НИУ ВШЭ-НН, 2019 г.