Аппроксимирующий полином Ньютона

Задача. Придать интерполяционной формуле более простой вид. Слагаемые должны располагаться в порядке убывания их значимости.

Элементы теории разделённых разностей.
1) Схема Эйткена
2) Формулы численного дифференцирования
разностные методы
Задана табличная функция:

разделённые разности первого порядка
разделённые разности второго порядка

разделённая разность k-го порядка
Полезные свойства разделённых разностей
1) Разделённая разность k-го порядка равна:

2) Разделённая разность суммы или разности функций равна сумме или разности разделённых разностей слагаемых, соответственно уменьшаемого и вычитаемого.
3) Постоянный множитель можно выносить за знак разделённой разности.
4) Разделённая разность есть симметрическая функция своих аргументов, т.е.
5) Разделённая разность многочлена понижает на единицу его степень.

Вывод:
Разделённые разности n-го порядка многочлена n-й степени постоянны. (Все последующие равны нулю)
Свойство 5 применяют для определения предпочтительной степени многочлена, подходящего для интерполирования данной функции. Или используют для обнаружения ошибок в таблицах многочленов или функций, близких к ним.

Построим таблицу разделённых разностей

Строим полином Ньютона
Задана табличная функция:
При построении полинома Ньютона в качестве базисных функций возьмем следующие:
Многочлен ищем в виде:

График многочлена должен проходить через заданные узлы, т.е.
Из этих условий найдём коэффициенты:

− разделённая разность 0-го порядка
− разделённая разность 1-го порядка
− разделённая разность 2-го порядка

Для равноотстоящих узлов:
− разделённая разность 1-го порядка
− разделённая разность 2-го порядка

Общая формула для коэффициента многочлена Ньютона имеет вид:
Окончательный вид многочлена Ньютона:
Этой формулой пользуются для вычисления значений функции в узлах левой(верхней) части таблицы.
Первый интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования вперёд.

Второй интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования назад.
4) Разделённая разность есть симметрическая функция своих аргументов, т.е.
Если 0 ↔ n, 1 ↔ n − 1, 2 ↔ n − 2 и т.д., тогда

Погрешность многочлена Ньютона.
где
при

Пример. Вычислить в точках x = 0,1 и x = 4,5 значения функции, заданной таблично.

При
воспользуемся первой формулой Ньютона.
При
воспользуемся второй формулой Ньютона.