Матрицы. Действия над матрицами

Содержание лекции

Ключевые понятия

Основные понятия и определения
Матрицей называется таблица, состоящая из n строк и m столбцов.
Таблица имеет вид:

Обозначение матрицы
Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, A1, B1) или А={аij}n×m.
Матрица, у которой все элементы внутри равны 0, называется нулевой матрицей и обозначается «O».

Действия над матрицами
Две матрицы одинаковой размерности называются равными, если равны элементы, стоящие на одинаковых местах.

Суммой 2-х матриц одинаковой размерности называется матрица, элементы которой находят по правилу:
А={аij}n×m, B={bij}n×m
A+B=C={cij}n×m.
cij=aij+bij - складываются элементы, стоящие на одинаковых местах.

Для того чтобы матрицу умножить на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число:
А={аij}n×m; α-число
α∙А={аij}n×m

Если А={аij}n×m, B={bij}n×m, то разностью матриц А и В называется матрица C={cij}n×m, где cij=aij-bij.

Введём операцию умножения матрицы таким образом, чтобы выполнялось условие:
Аn×p∙Вp×m=Сn×m.

Свойства операций над матрицами
А+В=В+А
А∙В≠В∙А
α∙(А+В)= αА+ αВ
А(В+С)=А∙В+А∙С (строго!)

5) Если в матрице А строки заменить местами, то получим так называемую транспонированную матрицу.
Если А – матрица, то АТ – транспонированная матрица, тогда (АТ)Т=А; (А∙В)Т=ВТ∙АТ

6) Для квадратных матриц вычисляют определители матриц, которые обозначаются символами ΔА; |A|; ||A||; detA (детерминант), являющиеся числом.
det(A∙B)=detA∙detB
Замечание! Все операции определены.

Обратная матрица
Матрица А-1 называется обратной матрице А, если А-1∙А=А∙А-1=Е.
Вывод 1: обратная матрица существует для квадратной матрицы.

Квадратная матрица, у которой определитель отличен от 0, т.е. |А|≠0, называется невырожденной. В противном случае называется вырожденной.

Теорема о единственности обратной матрицы.
Если матрица имеет обратную, то единственную.

Теорема о существовании обратной матрицы.
Чтобы матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была квадратной и невырожденной.
Необходимость доказательства следует из выводов. Доказательство достаточности представляет собой процесс представления матрицы, которая, по определению, и будет обратной.

Алгоритм построения обратной матрицы
1) Убеждаемся, что матрица квадратная (для прямоугольных матриц нет обратных).
2) Вычисляем определитель квадратной матрицы. Если определитель равен 0, то делаем вывод, что у матрицы нет обратной.

3) Если определитель не равен 0, то вычисляем алгебраические дополнения элементов матрицы.
4) Из алгебраических дополнений составляем так называемую присоединённую матрицу (Ã={Aij}n×n).
5) Транспонируем присоединённую матрицу.

Линейная зависимость и линейная независимость столбцов и строк

Столбцы называются линейно-независимыми, когда линейная комбинация равна 0 при всех α=0.
Столбцы называются линейно-зависимыми, если линейная комбинация равна 0 не при всех α=0.

Теорема.
Столбцы линейно-зависимы, когда хотя бы один столбец является линейной комбинацией остальных.
Теорема.
Столбцы матрицы можно представить в виде линейной комбинации столбцов матрицы Е.

Ранг матрицы
Дана матрица размером n×m.
Минором порядка r (Mr) называется определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении любых r строк и любых r столбцов матрицы.
r≤min{n;m}

Минор порядка r называется базисным, если он отличен от 0, и миноры более высоких порядков равны 0 или не существуют.
Порядок базисного минора называется рангом матрицы (число r).

Нахождение ранга матрицы через миноры трудоёмкая операция. Существует алгоритм, позволяющий достаточно легко найти ранг и базисный минор.

Теорема.
Ранг матрицы равен максимальному числу линейно-зависимых столбцов матрицы.
Максимальное число линейно-независимых строк равно максимальному числу линейно-независимых столбцов.

Теорема.
Линейные преобразования столбцов или строк матрицы не меняют ранг матрицы.
К линейным преобразованиям строк относятся следующие преобразования:

перестановка строк местами;
прибавление к одной строке другой строки, умноженной на некоторое число;
умножение строки на некоторое число;
те же действия со столбцами.

Теорема.
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк (столбцов), полученных в результате применения элементарных преобразований, которые позволяют выделить строки и столбцы, являющиеся линейными комбинациями других строк (столбцов), т.е. выделить базисный минор.

Применим к матрице элементарные преобразования.
Подчеркнём элементы, имеющие одинаковые индексы.
Ниже или выше этих элементов будем получать 0, если понадобится, устраним линейно-зависимые строки.

Вопросы и задания для самопроверки

Рекомендуемая литература