Слайд 4Основные понятия и определения
Матрицей называется таблица, состоящая из n строк и m
![Основные понятия и определения Матрицей называется таблица, состоящая из n строк и](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1175558/slide-3.jpg)
столбцов.
Таблица имеет вид:
Слайд 6Обозначение матрицы
Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, A1, B1) или А={аij}n×m.
Матрица,
![Обозначение матрицы Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, A1, B1) или](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1175558/slide-5.jpg)
у которой все элементы внутри равны 0, называется нулевой матрицей и обозначается «O».
Слайд 9Действия над матрицами
Две матрицы одинаковой размерности называются равными, если равны элементы, стоящие
![Действия над матрицами Две матрицы одинаковой размерности называются равными, если равны элементы, стоящие на одинаковых местах.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1175558/slide-8.jpg)
на одинаковых местах.
Слайд 10Суммой 2-х матриц одинаковой размерности называется матрица, элементы которой находят по правилу:
А={аij}n×m,
![Суммой 2-х матриц одинаковой размерности называется матрица, элементы которой находят по правилу:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1175558/slide-9.jpg)
B={bij}n×m
A+B=C={cij}n×m.
cij=aij+bij - складываются элементы, стоящие на одинаковых местах.
Слайд 12Для того чтобы матрицу умножить на число, надо каждый элемент матрицы умножить
![Для того чтобы матрицу умножить на число, надо каждый элемент матрицы умножить](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1175558/slide-11.jpg)
на это число:
А={аij}n×m; α-число
α∙А={аij}n×m
Слайд 13Если А={аij}n×m, B={bij}n×m, то разностью матриц А и В называется матрица C={cij}n×m,
![Если А={аij}n×m, B={bij}n×m, то разностью матриц А и В называется матрица C={cij}n×m, где cij=aij-bij.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1175558/slide-12.jpg)
где cij=aij-bij.
Слайд 14
Введём операцию умножения матрицы таким образом, чтобы выполнялось условие:
Аn×p∙Вp×m=Сn×m.
![Введём операцию умножения матрицы таким образом, чтобы выполнялось условие: Аn×p∙Вp×m=Сn×m.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1175558/slide-13.jpg)
Слайд 16Свойства операций над матрицами
А+В=В+А
А∙В≠В∙А
α∙(А+В)= αА+ αВ
А(В+С)=А∙В+А∙С (строго!)
![Свойства операций над матрицами А+В=В+А А∙В≠В∙А α∙(А+В)= αА+ αВ А(В+С)=А∙В+А∙С (строго!)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1175558/slide-15.jpg)
Слайд 175) Если в матрице А строки заменить местами, то получим так называемую
![5) Если в матрице А строки заменить местами, то получим так называемую](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1175558/slide-16.jpg)
транспонированную матрицу.
Если А – матрица, то АТ – транспонированная матрица, тогда (АТ)Т=А; (А∙В)Т=ВТ∙АТ
Слайд 186) Для квадратных матриц вычисляют определители матриц, которые обозначаются символами ΔА; |A|;
![6) Для квадратных матриц вычисляют определители матриц, которые обозначаются символами ΔА; |A|;](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1175558/slide-17.jpg)
||A||; detA (детерминант), являющиеся числом.
det(A∙B)=detA∙detB
Замечание! Все операции определены.
Слайд 19Обратная матрица
Матрица А-1 называется обратной матрице А, если А-1∙А=А∙А-1=Е.
Вывод 1: обратная матрица
![Обратная матрица Матрица А-1 называется обратной матрице А, если А-1∙А=А∙А-1=Е. Вывод 1:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1175558/slide-18.jpg)
существует для квадратной матрицы.
Слайд 21Квадратная матрица, у которой определитель отличен от 0, т.е. |А|≠0, называется невырожденной.
![Квадратная матрица, у которой определитель отличен от 0, т.е. |А|≠0, называется невырожденной.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1175558/slide-20.jpg)
В противном случае называется вырожденной.
Слайд 22Теорема о единственности обратной матрицы.
Если матрица имеет обратную, то единственную.
![Теорема о единственности обратной матрицы. Если матрица имеет обратную, то единственную.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1175558/slide-21.jpg)
Слайд 23Теорема о существовании обратной матрицы.
Чтобы матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы
![Теорема о существовании обратной матрицы. Чтобы матрица имела обратную, необходимо и достаточно,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1175558/slide-22.jpg)
она была квадратной и невырожденной.
Необходимость доказательства следует из выводов. Доказательство достаточности представляет собой процесс представления матрицы, которая, по определению, и будет обратной.
Слайд 24Алгоритм построения обратной матрицы
1) Убеждаемся, что матрица квадратная (для прямоугольных матриц нет
![Алгоритм построения обратной матрицы 1) Убеждаемся, что матрица квадратная (для прямоугольных матриц](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1175558/slide-23.jpg)
обратных).
2) Вычисляем определитель квадратной матрицы. Если определитель равен 0, то делаем вывод, что у матрицы нет обратной.
Слайд 253) Если определитель не равен 0, то вычисляем алгебраические дополнения элементов матрицы.
4)
![3) Если определитель не равен 0, то вычисляем алгебраические дополнения элементов матрицы.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1175558/slide-24.jpg)
Из алгебраических дополнений составляем так называемую присоединённую матрицу (Ã={Aij}n×n).
5) Транспонируем присоединённую матрицу.
Слайд 27Линейная зависимость и линейная независимость столбцов и строк
![Линейная зависимость и линейная независимость столбцов и строк](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1175558/slide-26.jpg)
Слайд 28Столбцы называются линейно-независимыми, когда линейная комбинация равна 0 при всех α=0.
Столбцы называются
![Столбцы называются линейно-независимыми, когда линейная комбинация равна 0 при всех α=0. Столбцы](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1175558/slide-27.jpg)
линейно-зависимыми, если линейная комбинация равна 0 не при всех α=0.
Слайд 29Теорема.
Столбцы линейно-зависимы, когда хотя бы один столбец является линейной комбинацией остальных.
Теорема.
Столбцы матрицы
![Теорема. Столбцы линейно-зависимы, когда хотя бы один столбец является линейной комбинацией остальных.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1175558/slide-28.jpg)
можно представить в виде линейной комбинации столбцов матрицы Е.
Слайд 30Ранг матрицы
Дана матрица размером n×m.
Минором порядка r (Mr) называется определитель, составленный из
![Ранг матрицы Дана матрица размером n×m. Минором порядка r (Mr) называется определитель,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1175558/slide-29.jpg)
элементов, стоящих на пересечении любых r строк и любых r столбцов матрицы.
r≤min{n;m}
Слайд 33Минор порядка r называется базисным, если он отличен от 0, и миноры
![Минор порядка r называется базисным, если он отличен от 0, и миноры](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1175558/slide-32.jpg)
более высоких порядков равны 0 или не существуют.
Порядок базисного минора называется рангом матрицы (число r).
Слайд 34Нахождение ранга матрицы через миноры трудоёмкая операция. Существует алгоритм, позволяющий достаточно легко
![Нахождение ранга матрицы через миноры трудоёмкая операция. Существует алгоритм, позволяющий достаточно легко](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1175558/slide-33.jpg)
найти ранг и базисный минор.
Слайд 35Теорема.
Ранг матрицы равен максимальному числу линейно-зависимых столбцов матрицы.
Максимальное число линейно-независимых строк равно
![Теорема. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно-зависимых столбцов матрицы. Максимальное число линейно-независимых](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1175558/slide-34.jpg)
максимальному числу линейно-независимых столбцов.
Слайд 36Теорема.
Линейные преобразования столбцов или строк матрицы не меняют ранг матрицы.
К линейным преобразованиям
![Теорема. Линейные преобразования столбцов или строк матрицы не меняют ранг матрицы. К](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1175558/slide-35.jpg)
строк относятся следующие преобразования:
Слайд 37перестановка строк местами;
прибавление к одной строке другой строки, умноженной на некоторое число;
умножение
![перестановка строк местами; прибавление к одной строке другой строки, умноженной на некоторое](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1175558/slide-36.jpg)
строки на некоторое число;
те же действия со столбцами.
Слайд 38Теорема.
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк (столбцов), полученных в результате применения элементарных
![Теорема. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк (столбцов), полученных в результате применения](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1175558/slide-37.jpg)
преобразований, которые позволяют выделить строки и столбцы, являющиеся линейными комбинациями других строк (столбцов), т.е. выделить базисный минор.
Слайд 40 Применим к матрице элементарные преобразования.
Подчеркнём элементы, имеющие одинаковые индексы.
Ниже или выше этих
![Применим к матрице элементарные преобразования. Подчеркнём элементы, имеющие одинаковые индексы. Ниже или](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1175558/slide-39.jpg)
элементов будем получать 0, если понадобится, устраним линейно-зависимые строки.
Слайд 42Вопросы и задания для самопроверки
![Вопросы и задания для самопроверки](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1175558/slide-41.jpg)