Базіс лінейнай прасторы. Каардынаты

Тэарэма 1. Маюць месца наступныя сцведжанні для кожнай n – мернай лінейнай прасторы :
1) адвольная сістэма вектараў, у якой іх колькасць большая за n, лінейна залежная;
2) адвольная сістэма з n лінейна незалежных вектараў задае базіс;
3) адвольную лінейна незалежную сістэму вектараў, колькасць вектараў у якой меньшая за n, можна дапоўніць да базісу.
Доказ. 1). Першае сцверджанне вынікае з Тэарэмы аб лінейнай незалежнасці сістэмы вектараў мінулага параграфа.
2). Хай сістэма вектараў a1, a2 ,.., an (1) л.н.з. сістэма вектараў n – мернай лінейнай прасторы, а b – адвольны вектар прасторы. Згодна 1) сістэма вектараў a1, a2 ,.., an, b (2) л.з. Згодна выніку з Тэарэмы аб лінейнай незалежнасці сістэмы вектараў вектар b лінейна выражаецца праз сістэму (1). Значыць, (1) – базіс V.

Каардынаты