Биномиальное распределение

План лекции
Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.
Вероятность редких событий. Формула Пуассона
Часто встречающиеся распределения дискретных случайных величин.

Повторные независимые испытания. Формула Бернулли
Задача: Какова вероятность появления события А
при проведении серии испытаний при одних и тех
же условиях?
Допущения:
Вероятность ожидаемого события Р(А)=р остается постоянной в каждом испытании
Учитываются только два исхода: появление события А или его альтернатива
Р( )=q, причем p+q=1

Формула Бернулли описывает вероятность появления Рn(k) события А в n независимых испытаниях k раз.
с учетом, что
имеем
формула Бернулли

Пример: Согласно ГОСТу вероятность содержания лекарственных веществ в одной грануле равна 0,9. Какова вероятность того, что из 10 гранул 5 удовлетворяют нормативам?

Частные случаи формулы Бернулли
Вероятность осуществления события А в n испытаниях ровно n раз равна:
Вероятность осуществления события А в n испытаниях нуль раз равна:

Частные случаи формулы Бернулли
Вероятность осуществления события А в n испытаниях не более m раз равна:
Вероятность осуществления события А в n испытаниях не менее m раз равна:

Пример:
Что вероятнее выиграть у равносильного противника:
Не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми?

Вероятность выиграть не менее трех партий из четырех:
Вероятность выиграть не менее пяти партий из восьми:
Решение: Так как противники равносильны, то вероятность выигрыша и проигрыша в каждой партии одинаковы.

Вероятность редких событий. Формула Пуассона
Если вероятность ожидаемого события А очень мала (p 0, а вероятность альтернативы q 1 ).
формула Пуассона

Пример:
Пусть известно, что в партии препарата имеется n=100 000 ампул. Вероятность нахождения поврежденной ампулы р=0,0001. Найти вероятность того, что партия содержит ровно 5 бракованных ампул.

Биномиальное распределение
P (m, n) - вероятность того, что в n опытах благоприятное событие произойдет m раз
Генерация: в отдельном опыте благоприятное событие может произойти с вероятностью р.

Биномиальное распределение
M(X)=n⋅p
D(X)=n ⋅ p ⋅ q

Распределение Пуассона
Генерация: точно так же, как и для биномиального распределения, благоприятное событие может произойти с вероятностью р, однако число опытов n велико, а величина р мала (благоприятные события редки).
Вероятность того, что в n опытах благоприятное событие выпадет k раз:
M(X)=D(X)=λ=n⋅p